儿童死亡率的间接估算

可用数据：单次普查数据

期望得到的数据：儿童死亡率

方法描述

间接估算儿童死亡率的方法是由布拉斯和科尔(1968年)首先提出的，该方法根据分年龄组的(或者按母亲初育后时间分的，或者按母亲婚姻持续时间分的)妇女申报的曾生孩子总数和现有(或死亡)孩子总数来估算儿童死亡率。这类数据被称为概括生育史，其详细程度在不同情况下会有差异，从仅仅依靠两个问题(曾生孩子数和现有子女数)，到第15章《儿童死亡率分析简介》中所描述的作为人口和健康调查的完整生育史系列问题一部分的最详细的概括生育史调查(分别询问男孩和女孩的情况，并分别询问同住和不同住现有子女的情况)。妇女分年龄的(或者按母亲初育后时间分的，或者按母亲婚姻持续时间分的)孩子死亡比例反映了儿童死亡率水平。这个水平也受其他因素的影响，主要包括生育模式和儿童死亡模式。年轻母亲一般拥有经历了短期和近期死亡风险的年幼孩子，因此，这类母亲的孩子死亡比例体现了幼年期的儿童死亡风险；与之相对，年长的母亲既有年幼又有年长的孩子。这些孩子平均来说在过去经历了较长时期的死亡风险。通过生育率和儿童死亡率的模型，孩子死亡比例可以转换为儿童期某确切年龄的死亡概率_nq₀。妇女的年龄越大，n的值就越大。

如果死亡率随时间而改变了，估算出的死亡概率则反映了在一定年龄范围和日期范围内的死亡率。幸运的是，“对应时间”的方法被研发出来以估算每个死亡比例在之前多长的时间间隔点上近似等于时期死亡概率。这些时间间隔随受访者年龄而增加。因此，如果将从不同年龄组妇女申报中得出的死亡概率转化为常用的死亡率指标，那么这些对应于不同时点的统计指标可以用于推断某一时期内的死亡率的一般趋势。

数据要求和假定

所需数据列表

• 按五岁年龄组的，或者按其结婚年数分组的，或者按其初育后年数分组的妇女人数
• 按妇女五岁年龄分组的，或者按其结婚年数分组的，或者按其初育后年数分组的曾生子女数
• 按妇女五岁年龄分组的，或者按其结婚年数分组的，或者按其初育后年数分组的曾生子女数中在调查时已经死亡(或现有)的子女数
• 按妇女五岁年龄分组的调查前一年的出生数(不必需的可选数据)

重要假定

• 方法中使用的模型模式较好地代表了所研究人口的生育率和儿童死亡率的年龄模式。
• 在任何时期，儿童死亡率与母亲五岁或五年的分组无关。
• 人口中，儿童死亡风险与母亲存活率(含死亡和迁移)之间不存在相关关系(参见第15章有关“艾滋病对儿童死亡率估算方法的影响”的介绍)。
• 近期儿童死亡率的任何变化都是渐进的和单向的。
• 不同时期按年龄分组的(或者按母亲结婚年数分组的，或者按母亲初育后年数分组的)平均曾生孩子数较好地反映了恰当的队列生育模式。

准备工作和初步检查

概括生育史的数据质量评估包含在第17章《由生育史数据直接估算儿童死亡率》中所阐述的分析完整生育史的整体方法中。因为概括生育史没有包含每一个活产婴儿的出生日期，评估的分析只能按母亲年龄分组(或者按母亲婚后年数分组，或者按母亲初育后年数分组)来进行；按单岁年龄分组能揭示是否存在年龄堆积现象。再次说明，数据质量评估是使用数据本身来检测数据的内部合理性，以及使用所研究人口的其他数据来检测数据的外部一致性。内部评估中，首先要检验妇女各个组的曾生子女数的平均值。(请注意，这些计算中的分母应该是妇女总人数，不是母亲人数或者已婚妇女人数)。除非生育率不断上升，曾生子女数的平均值应该随五岁年龄组而增加。第二个检验应该针对每个五岁年龄组中死亡孩子数的平均值。除非儿童死亡率或者生育率不断增加，孩子死亡的平均数也应该随着年龄而增长。如果有曾生子女的性别信息，那么应该计算出生性别比。与完整生育史一样，如果出生性别比明显偏离每100个女孩对应100-106个男孩，或者随年龄(或者结婚年数或者母亲初育后年数)而上升，数据则可能存在问题，除非是已知该人口有性别选择性流产。在外部检查中，分队列比较曾生子女数和死亡孩子数是很有用的。其详细描述参见第17章《由生育史数据直接估算儿童死亡率》中对完整生育史的介绍。

注意事项和提示

• 数据编辑时要审慎。在分析时应该剔除曾生子女数或孩子死亡数(或者孩子存活数)缺失的妇女。然而，那些没有子女的妇女必须要纳入分析。
• 插补数据时也要谨慎。大型调查中，没有子女的妇女的曾生子女数信息的缺省方式经常存在差异。(参见第4章《巴德里校正法》，但注意，在这里不需要校正，因为每个平均子女数是等比例地受到影响)。热卡法插补也可能引起严重偏差。
• 当时间维度是年龄的时候，儿童死亡率与母亲的五岁年龄组无关的假定通常是不正确的。相比25岁以上妇女所生的孩子，更年轻的母亲所生的孩子的死亡率均较高。结果是，基于(特别是)15-19岁以及(在某种程度上)20-24岁的妇女推导的间接估计值会高估总人口层面的儿童死亡率。对这些影响的校正没有被广泛使用(哥伦比安和思劳格特 2001)。而正是部分地由于这种失真导致了基于母亲结婚年数或者母亲初育后年数方法的发展。然而，如下文所述，这些替代方法也有其本身的局限性。
• 本方法应用于艾滋病普遍流行的人群时需要非常谨慎(参见第15章有关“艾滋病对儿童死亡率估算方法的影响”的介绍)。

方法的应用

按五岁年龄分组的/按母亲结婚年数分组的/按母亲初育后年数分组的概括生育史

步骤 1：计算曾生子女数的死亡比例，₅PD_x

对于妇女的每一个五岁或五年组(x,x+5)，将孩子死亡数除以曾生子女数得到孩子的死亡比例。

步骤 2：计算每一个五岁或 五年组妇女的平均曾生子女数，₅P_x

对于妇女的每一个五岁或五年组，将申报的出生子女数₅CEB_x除以该组的妇女人数₅N_x。请注意，如果所用的分组变量是年龄，那么不论其婚姻状况或生育史状况如何，分母应该是妇女总人数。

步骤 3： 选择一个模型生命表类别

儿童死亡率的年龄模式对于将死亡比例转换成标准的_nq₀并将其进一步转换成常见死亡率指标，如五岁以下儿童死亡率U5MR，具有重要影响。如果有所研究人口相当近期的完整生育史的数据，那么可以通过图示基于完整生育史得到的₄q₁估计值对₁q₀估计值的关系，来展现其与科尔-德曼尼模型生命表和联合国模型生命表中的对应关系，从而选择模型生命表。如果没有很好的完整生育史的估计值，模型生命表的选择可以基于某一邻国人口的儿童死亡率模式。对于任何模型生命表来说，获得对数据的完美契合的可能性不大。分析人员应该选择最能代表现有观察数据的模型生命表。下面的步骤 4、步骤 5和步骤 6应使用同一模型生命表类别。根据所分析数据是否按母亲年龄分组(第1类)，按母亲初育后年数分组(第2类)，或者按母亲结婚年数分组(第3类)，步骤 4和步骤 5会有所不同。

数据按母亲年龄分组(第一类)

步骤 4a(1)：基于年龄别生育率来估算平均生育年龄

使用联合国发展中国家模型生命表时，才需要这个步骤。它是根据年龄别生育率₅f_x来计算的：

$$ \overline{m} = \frac{\sum\limits_{x=15,5}^{45} {}_5 f_x \cdot (x+2)}{\sum\limits_{x=15,5}^{45} {}_5 f_x} $$

分子中的(x + 2)项代表在生育发生时的年龄组x到x +5的中点。这相当于假定年龄别生育率的计算是基于按妇女调查时的年龄进行分组的调查前一年的出生数(更多细节，参见第5章)。如果年龄别生育率所依靠的出生信息是基于按母亲生育时的年龄来分组的，该项将是(x +2.5)。需要注意的是，平均生育年龄只由年龄别生育率的相对模式决定，所以在计算它之前没有必要通过诸如冈珀茨关联模型来调整生育水平。

步骤 4a(2)：从每个₅PD_x计算_nq₀

一旦确定了模型生命表类型系列j， 可将a(x,j)，b(x,j)和c(x,j)(当采用联合国模型生命表时，还有d(x,j))等参数代入下列等式：

$$ \frac{_n q_0}{_5 PD_x} = a(x,j) + b(x,j) \times \frac{_5 P_{15}}{_5 P_{20}} + c(x,j) \times \frac{_5 P_{20}}{_5 P_{25}} + d(x,j) \times{\overline{m}} $$

注意，除非使用联合国模型生命表，否则d(x,j)的值为零。

对于每个年龄组(x, x + 5)，_nq₀的值由等式的右侧乘以观察到的₅PD_x得出(参见表16.1)。

表16.1    利用a(x,j), b(x,j), c(x,j)和d(x,j)的值，从按母亲年龄分组的曾生子女死亡比例来估算儿童确切年龄死亡概率

来源：普林斯顿模型：联合国人口司 (1983); 联合国模型: 联合国人口司 (1991)

步骤 5a：估算每个_nq₀估计值的对应时间t(x)

通过恰当的模型生命表类别j，将参数e(x,j)，f(x,j)和g(x,j)代入下列等式：

$$ t(x) = e(x,j) + f(x,j) \times \frac{_5 P_{15}}{_5 P_{20}} + g(x,j) \times \frac{_5 P_{20}}{_5 P_{25}} $$

估计值所对应的日历时间可以通过将人口普查或调查日期减去t(x)来获得(参见表16.2)。

表16.2 利用e(x,j), f(x,j) 和 g(x,j)的值，从按母亲年龄分类的曾生子女死亡比例来估算儿童确切年龄死亡概率的对应时间

来源：普林斯顿模型：联合国人口司 (1983); 联合国模型: 联合国人口司 (1991)

数据按母亲初育后的年数分组(第二类)

步骤 4b(1)：从每个₅PD_x计算_nq₀

一旦确定了模型生命表类型j，适当的参数a(x,j)，b(x,j)和c(x,j)将被代入下列等式：

$$ \frac{{}_n q_0}{{}_5 PD_x} = a(x,j) + b(x,j) \times \frac{{}_5 P_{15}}{{}_5 P_{20}} + c(x,j) \times \frac{{}_5 P_{20}}{{}_5 P_{25}} $$

对于每个时间分组(x, x + 5)，_nq₀的值由等式的右侧乘以观察到的₅PD_x估算得出(见表16.3)。

表 16.3  利用a(x,j), b(x,j)和c(x,j) 的值，从按母亲初育后年数分组的曾生子女死亡比例来估算儿童确切年龄下的死亡概率

注：本表数据为希尔对希尔和菲格罗亚 (2001)最初发表的系数和_nq₀中的n值的更新版。

步骤 5b：估算每个_nq₀估计值的对应时间 t(x)

用恰当的模型生命表类别j，将参数e(x,j)，f(x,j)和g(x,j)代入下列等式：

$$ t(x) = e(x,j) + f(x,j) \times \frac{_5 P_{15}}{_5 P_{20}} + g(x,j) \times \frac{_5 P_{20}}{_5 P_{25}} $$

结果见表16.4。

表 16.4  利用e(x,j), f(x,j) ,g(x,j)的值，从按母亲初育后年数分组的曾生子女死亡比例来估算儿童确切年龄死亡概率的对应时间

           注：本表数据为希尔对希尔和菲格罗亚 (2001)最初发表的系数和_nq₀中的n值的更新版。

数据按母亲结婚年数来分组(第三类)

步骤 4c：从每个₅PD_x计算_nq₀

一旦确定了模型生命表系列j，可将适当的参数a(x,j)，b(x,j)和c(x,j)代入下列等式：

$$ \frac{{}_n q_0}{{}_5 PD_x} = a(x,j) + b(x,j) \times \frac{{}_5 P_{15}}{{}_5 P_{20}} + c(x,j) \times \frac{{}_5 P_{20}}{{}_5 P_{25}} $$

表 16.5 利用a(x,j), b(x,j)和c(x,j)的值，从按母亲结婚年数来分组的曾生子女死亡比例来估算儿童确切年龄死亡概率

对于母亲结婚年数的每个组(x, x + 5)，_nq₀的值由等式的右侧乘以观察到的₅PD_x估算得出(见表16.5)。

步骤 5c：估算每个_nq₀估计值的对应时间t(x)

用恰当的模型生命表类别j，将参数e(x,j)，f(x,j)和g(x,j)代入下列等式：

$$ t(x) = e(x,j) + f(x,j) \times \frac{_5 P_{15}}{_5 P_{20}} + g(x,j) \times \frac{_5 P_{20}}{_5 P_{25}} $$

结果示于表16.6。

表 16.6 利用e(x,j), f(x,j)和g(x,j)的值，从按母亲结婚年数分组的曾生子女死亡比例来估算儿童确切年龄死亡概率的对应时间

步骤 6：将每个_nq₀估计值转换为₅q₀估计值

在应用本章的儿童死亡率间接估算方法时，每一个儿童确切年龄死亡概率_nq₀都要被转换成一个α值，即罗吉特关联对数模型生命表中的水平参数，然后将其用来估算从出生到确切年龄5岁之间的相应死亡概率，

₅q₀：

$$ \alpha = 0.5\left( \ln\left( \frac{{}_n q_0}{1 - {}_n q_0} \right) - Y^{rs}(n) \right) $$

其中，_nq₀的估计值来自于第四步，而Y^s(n)的值是标准生命表中的罗吉特转换值。这就可以得到一套α值，对应基于不同年龄组的数据得出的死亡概率。于是，对于每一个α：

$$ {}_5 \hat{q}_0 = \frac{e^{2\left( \alpha + {}_5 Y_0^{rs} \right)}}{1 + e^{2\left( \alpha + {}_5 Y_0^{rs} \right)}} $$

如果要应用关联模型，就必须选择一个标准的生命表。为了应用间接估计的步骤，有必要为步骤 4和步骤 5选定一个合适的模型生命表，并且该标准应当来自同一模型生命表类别。类别的选定要比选定类别中的不同死亡水平来得重要(适当的死亡水平标准选定允许假定罗吉特关联模型生命表中的β为1)。因此，我们建议选定一个出生预期寿命为60岁的标准。

步骤 7：识别并解释结果

最后必须评估各年龄组的_nq₀估计值，相应的₅q₀估计值，对应时间的估计值，以及₅q₀体现的死亡率趋势。将对应时间和₅q₀值作图，可以揭示儿童死亡水平的时间趋势。如果有多次人口普查或调查的数据，那么可以比较相同时期的₅q₀估计值，从而评价数据的一致性和可靠性。

示例

此示例使用了马拉维2008年人口普查中以母亲年龄分组的曾生孩子数和存活孩子数的数据。该方法的操作见随附Excel工作簿。

步骤 1：计算曾生孩子的死亡比例，₅PD_x

表16.7展示了马拉维2008年人口普查中按母亲五岁年龄组分的妇女数、曾生子女数和现有子女数。曾生子女死亡比例₅PD_x是用1减去现有子女数占曾生子女数比例得出的：

$$ {}_5 PD_x = 1 - \frac{{}_5 CS_x}{{}_5 CEB_x} $$

结果示于表16.7第5列。

步骤 2：计算每个五岁年龄组妇女的平均曾生子女数，₅P_x

虽然只需计算15-19岁、20-24岁和25-29岁年龄组妇女的平均曾生子女数，₅P_x，但是我们仍然建议计算所有年龄组妇女的平均曾生子女数，并将其作为数据评估的一部分。该值可以简单地通过将各年龄组中的曾生子女数除以该年龄组的妇女人数得出：

$$ {}_5 P_x = \frac{{}_5 CEB_x}{{}_5 N_x} $$

其结果示于表16.7第6列。这样，所需要的子女数比率就可如下计算：

$$ \frac{{}_5 P_{15}}{{}_5 P_{20}} = \frac{0.2833}{1.5316} = 0.1850 $$以及$$ \frac{{}_5 P_{20}}{{}_5 P_{25}} = \frac{1.5316}{2.84877} = 0.5376 $$

表16.7  曾生子女数和现有子女数, 马拉维 2008人口普查

步骤 3： 选择模型生命表类别

单独一套按母亲年龄分的孩子死亡比例基本上不包含所研究人口中儿童死亡率的年龄模式信息。然而，在实际的国家层面分析中，总是会有一些其他的相关信息来引导模型生命表的选择。理想的信息是来自同一人口不同完整生育史调查得到的儿童死亡率的年龄模式。一般以图形方式来比较₁q₀和₄q₁，将观测到的数据点与每个模型生命表类别的不同死亡水平上的曲线作比较。

马拉维进行过好几次完整生育史的调查。图16.1显示了马拉维在1992年、2000年和2004年人口和健康调查之前0-4年的直接估计值，2000年人口和健康调查之前5-9年的直接估计值，以及其与模型生命表的比较。(请注意，图中只显示了三个联合国模型生命表。这是因为5岁以下的死亡率模式在一般模型、南亚模型以及远东模型中是相似的。)所有观测的数据点均表明，₄q₁与₁q₀的比值高于任何模型。在这种情况下，最佳选择可能是普林斯顿北部模型。我们将在下文中使用该类别。

图16.1马拉维人口和健康调查的₄q₁ 和 ₁q₀的直接估计值和普林斯顿和联合国模型生命表的比较

步骤 4a(1)：基于年龄别生育率估算平均生育年龄

我们选择了普林斯顿北部模型生命表，但为了便于说明，我们还是估算平均生育年龄。马拉维2008年人口普查询问了育龄期妇女在普查前一年中生育的孩子数。基本数据和平均生育年龄$$\bar{m}$$的计算见表16.8。

表16. 8 从出生数计算平均生育年龄 $$\bar{m}$$，马拉维2008年人口普查

$$\bar{m}$$是第6列的总和除以第4列的总和计算而得，即 29.817/1.0375=28.74。

步骤 4a(2)：从每个₅PD_x计算_nq₀

选用表16.3中的适当系数，将₅PD_x被转换为_nq₀估计值，见表16.9。例如，对于30-34岁年龄组，

$$ {}_5 \hat{q}_0 = 0.1597\left( 1.2046 + (0.3037 \times 0.1850) + (-0.5656 \times 0.5376) \right) = 0.1528 $$

表16.9 从每个₅PD_x计算_nq₀

步骤 5：估算_nq₀估计值的对应时间t(x)

选用表16.4中的正确系数，就可以获得估计值在调查或普查前的对应时间差t(x)，见表16.10。例如，对于30-34岁年龄组，

$$ t(30) = 2.0779 + (-1.7908) \times 0.1850 + 9.4126 \times 0.5377 = 6.81 $$

因人口普查是在2008年6月8至28日进行的，所以估计值的对应时间可以从2008.46(2008年6月18日的小数点形式)中减去t得到。结果示于表16.10最后一列。

表16.10 计算每个估计值在普查前的对应时间差 t(x)

步骤 6：将_nq₀估计值转换为₅q₀估计值

最后，将每个_nq₀估计值转换成通用指标$$5\hat{q}_0$$的估计值，以比较不同年龄组间的儿童死亡率。通过公式Y(n) = 0.5xln(_nq₀/(1 – _nq₀))，将每个_nq₀转换成罗吉特值Y(n)，然后再从Y(n)中减去根据预期寿命为60岁时男性女性合并的北部模型生命表计算的标准罗吉特值Y^s(n) (第6列)得到α值。基于每个α值和标准的Y^s(5)，就可以估计$$5\hat{q}_0$$。例如，对于25-29岁年龄组，Y(3) = 0.5xln(0.1222/(1-0.1222)) = -0.9857, 而 α = -0.9857 - (-1.1664) = 0.1806。因此，

$$ {}_5 \hat{q}_0 = \frac{e^{2\left( 0.1806 + (-1.0900) \right)}}{1 + e^{2\left( 0.1806 + (-1.0900) \right)}} = 0.1396 $$

而$$1\hat{q}_0$$的估计值是基于年龄1岁的标准罗吉特值以同样方式得出的。

表16. 11 对每个估计值，估算罗吉特生命表的参数α 并求$${}_1\hat{q}_0$$和$${}_5\hat{q}_0$$

图16.2图示了不同对应时间上的$$1\hat{q}_0$$和$$5\hat{q}_0$$估计值。该图表明，五岁以下儿童死亡率随着时间的推移呈下降趋势，从20世纪90年代初的每千人185左右下降至2005年的每千人140左右。如前所述，非常年轻母亲的死亡率可能被夸大，因此2007年儿童死亡率明显上扬应不予考虑。

图16.2 五岁以下儿童死亡率和1岁以下儿童死亡率的估计值，马拉维2008年人口普查

诊断、分析和解释

核查和验证

不论数据是如何被搜集的，也不论访问员的培训和监督的情况如何，认真的数据质量核查是任何分析的重要的第一步。所有数据集都会存在错误，这些错误可能有多种来源，例如调查员偷工减料或者受访者根本不知道问题的正确答案。

数据核查中应该强调概括生育史数据的一个特殊方面，即对假定2(即在一个特定时期，孩子的死亡风险不随母亲年龄改变)的违反。许多应用非常清楚地揭示这个假定并不成立。15-19岁妇女所生孩子的死亡风险(以及这一年龄组中基于曾生子女数和子女死亡数所间接估计的儿童死亡率)往往高于人口的平均水平，有时候这一点会非常显著。20-24岁母亲所生的孩子的死亡率也同样存在这一现象，只不过程度较轻而已。这里有两个原因：孩子的出生顺序和社会经济因素。众所周知，第一胎比后续胎次的死亡风险更高，而年轻妇女所生的孩子中第一胎的比例显然要比平均水平更高。较早生育孩子的妇女也往往来自于那些社会经济水平较低的群体，而她们的孩子的死亡风险也就会高于平均水平。因此，应高度慎重地处理或者完全忽略基于15-19岁妇女所估计出的儿童死亡率。

解释

解释结果时，需要牢记本方法的两个重要特点。首先，在基本数据中，没有特定日期或年龄的信息。对一个妇女的曾生子女而言，仅有的时间信息是，那些孩子出生在母亲初育年龄和她在调查时的年龄之间的某一时点。对那些已经死亡的孩子，关于其死亡年龄的信息甚至会更少，因为可能的年龄范围取决于出生的时间分布。因此，不可能基于概括生育史来分析儿童死亡率的短期波动。两位同龄(或者相同结婚年数，或者相同初育后年数)妇女申报的曾生子女数和死亡子女数相同，并不说明这些孩子的死亡历险相同。概括生育史最多只是一个给出了以往平均趋势的指标。然而这种平均趋势，即使对于近期而言，也需要谨慎地解释，因为选择性偏差会影响15-19岁和20-24岁的妇女的申报，虽然对后者影响程度相对较小。

第二个特点在于搜集到的信息只来自于被调查家庭中的存活妇女，这就存在受访者选择性偏差的相关风险。出生于某一社区的孩子，当母亲不再生活在该社区时，其死亡率就不会被纳入测量。如果这样的孩子的死亡率高于那些母亲仍然生活在该社区的孩子的死亡率，那么儿童死亡率就会被低估。这种偏差最严重的形式可能发生在艾滋病患病率较高的社区中，因为在抗逆转录病毒治疗没有普及的情况下，较高的患病率将导致母亲和孩子的存活之间出现较强的正相关关系(参见第15章有关“艾滋病对儿童死亡率估算方法的影响”的介绍)。实际上，在任何人群中，母亲和孩子的存活之间都基本会存在一定的正相关关系。

受访者的选择性偏差可能还有其他来源。例如，高人口迁入率将导致妇女申报在别处出生并长大的存活儿童，而高人口迁出率则将遗漏那些在该社区出生并长大的儿童。虽然不可能事先知道这些偏差的方向或幅度，但是分析人员需要牢记这些偏差的潜在影响。在概括生育史中，问项未回答的情况相对于完整生育史来说可能实际上是个相对较小的问题，这是因为搜集的信息往往来自第三方而不一定是妇女本身。相应地，调查时外出没有居住在某社区的妇女的概括生育史可能会被搜集到，而其完整生育史因为没有当面访谈则不可能被搜集。

方法详述

用死亡子女数占曾生子女数的比例来测量儿童死亡率，这一想法有着悠久的历史。早在美国1900年的人口普查(普莱斯顿和海恩斯 1991年)，英国1911年的人口普查和巴西1940年人口普查等等，曾生子女和现有子女的问题就被纳入了问卷。但将这种比例转换为标准生命表指标的方法却是布拉斯和科尔首先提出的(1968年)。

为了说明这个基本想法，这里例举一个简单的、可能不太实际的例子。假定某人口中所有妇女都在确切年龄25岁生育且只生育一个孩子，所有妇女都从25岁存活到30岁且没有迁移。这样，在调查中，确切年龄30岁妇女的孩子死亡比例将能精确地测量从出生到五岁之间的队列死亡概率₅q₀。而在另一个人口中，所有妇女也同样都生育且只生育一个孩子，但都在确切年龄27岁生育。在这一人口中，孩子死亡比例将能精确地测量从出生到3岁之间的队列死亡概率₃q₀。

这两个例子说明了几个重要问题。首先，妇女的年龄某种程度上代表了她们孩子的死亡历险时间。在其他条件相同的情况下，母亲的年纪越大，平均来说，其孩子的死亡历险时间就越长。第二，从标准生命表角度看，曾生子女的死亡比例取决于生育年龄。第三，死亡比例在生命表中的对应关系要求不存在人口死亡或迁出带来的选择性影响，也不存在人口迁入带来的影响。第四，所得的结果是队列指标(或跨队列的平均值)而非时期指标。

当然，在实际人口中，母亲生育孩子的年龄并不相同，并且不同年龄母亲生育的孩子的死亡风险会随时间变化而变化。估算方法使用模型生育模式和儿童死亡模式来产生曾生子女的模型死亡比例，以便与其生命表参数挂钩。以母亲年龄组分类的孩子存活数据的一个共同特点是，15-19岁和20-24岁妇女的死亡孩子比例比随后的年龄组要高，尽管这些比例只反映了孩子较短的平均历险时间。这个问题的出现是因为有孩子的年轻妇女的社会经济地位一般较低，且她们的孩子很多是第一胎，而这两者都是导致儿童死亡率较高的风险因素。因此这些年轻母亲的孩子的死亡历险并不能代表人口中的所有孩子。按母亲结婚年数来分类(沙利文 1972)和按初育后年数来分类(希尔和菲格罗亚 2001)的方法的出现，一定程度上是为了纠正这种偏差。这些方法也被认为受生育率变化的影响较小。

布拉斯最初开发本方法时，没有明确考虑死亡率变化对估计值的影响，尽管他指出，在死亡率变化的条件下，“q(2)和q(3)的估计值将代表普查或调查前短时期(小于10年)的平均死亡率”(布拉斯和科尔 1968:116)。当前，儿童死亡率在全球范围很明显地下降，而且在某些人口中下降得非常迅速。基于菲尼(1976，1980)的开创性工作，该方法被进一步开发，从而可以对每个年龄组(或持续年数)的估计值推导出一个“对应时间” (科尔和特拉塞尔 1977; 帕隆尼和海利格曼 1985; 希尔和菲格罗亚2001)。某组妇女的曾生子女数的死亡比例代表了其所有子女出生队列的平均死亡风险。妇女年龄越大或子女历险时间越长，对队列追溯的时间就越长，基于死亡比例的儿童死亡率估计值的对应时间也就越久远。由于儿童死亡风险高度集中于幼年，在实践中，如果死亡率趋势相当稳定，对应时间与出生发生年份的平均数不会有较大差异。因此，儿童死亡率估计值的确切日历对应时间，必须被当作死亡在时间上分布的中心点。由此，从概括生育史得出的儿童死亡率估计值和各种布拉斯的间接估算方法，不能用于鉴别位于在特定时间点的死亡率变化或者剧变。本方法可以很好地描述儿童死亡率的总体趋势，但是，与每一人口中实际发生的死亡率的逐年波动相比，本方法的趋势是经过平滑的。因此，需要其他测量手段(如完整生育史)来估计例如健康干预对于儿童存活在时间趋势上的影响。

数学阐释(《手册十》和联合国模型生命表方法)

确切年龄x妇女的曾生子女数的死亡比例，PD(x)，是一个以出生数为权数的加权平均队列死亡概率，

$$ PD(x) = \alpha \frac{\int_{\alpha}^{x} f(y) \, {}_{x-y} q_0^c \, dy}{\int_{\alpha}^{x} f(y) \, dy} $$

其中，f(y)是年龄y上的生育率，_x–yq^c₀是(x–y)年前出生的队列在年龄(x–y)上的死亡概率，α是生育的起始年龄。对于按母亲结婚年数分组和按初育后年数分组的情况，等式是完全相同的，唯一不同是α为零。五岁年龄组或持续年数组的死亡比例可以通过计算整个组的死亡比例，并根据假定的每个年龄x上的人口分布N_x为权数的加权平均值来获得。通常假定所研究人口是稳定的，且具有与决定PD(x)水平的人口参数相对应的增长率；还假定成年年龄段的生命表是用于计算PD(x)的那张生命表。这种计算使用离散的年龄组，例如，使用单岁年龄，

$$ {}_5 PD_x = \frac{\sum\limits_{a=x}^{x+5} PD(a) \cdot {}_1 L_a \cdot e^{-r(a+0.5)}}{\sum\limits_{a=x}^{x+5} {}_1 L_a \cdot e^{-r(a+0.5)}} $$

f, q和N的模型值用来估算₅PD_x值，然后通过将孩次比率作为自变量进行回归分析找出对应₅PD_x值的q值(见上文的估算等式)。

方法的拓展

按母亲结婚年数分组或按初育后年数分组的方法

如上所述，虽未详细说明，与原始年龄组分组方法类似的按母亲结婚年数分组(沙利文1972)或按初育后年数分组(希尔和菲格罗亚2001)方法得到了研发。这些方法的研发是为了解决年龄分组法中产生错误的两个潜在来源：生育率的变化(主要通过扭曲孩次比)和年轻母亲所生孩子的高于平均水平的死亡风险。

下文阐述的这两个类似方法，也有它们自身的局限性。首先，许多普查不会搜集按母亲结婚年数分组或者按初育后年数分组的信息。其次，对按母亲结婚年数分组的方法而言，在许多发展中国家，婚姻并不是开始生育的先决条件，而且未婚母亲的孩子的死亡率也可能会比已婚母亲高。因此，这种方法所得到的结果也会失真。如果搜集到相关的数据(例如从婚外生育比例很低的许多阿拉伯国家搜集的数据)，就可以深入比较不同方法的优缺点。

有些调查，比如大约在2010年之前进行的联合国儿童基金会主持的多指标类群调查(Multiple Indicator Cluster Surveys)搜集了概括生育史以及关于婚姻和初育日期的必要信息。这样，如何选择方法的形式就成了一个问题。

如果排除在每套估计值中最近的数据点(即年龄分组中的15-19岁，结婚年数分组和初育后年数分组中的0-4年)，那么三套估计值的总体趋势是非常相似的。结婚年数和初育后年数显示出儿童死亡率水平相似。但是从25-29岁年龄组开始，年龄分组得到的儿童死亡率就总是最高的(平均为155‰)，比其他两种方法平均高出20‰。剔除最近的数据点，按结婚年数分组和按初育后年数分组的平均值分别被估计为133‰和136‰，结果几乎相同，尽管这些估计值所覆盖的时期略有不同。

此应用中有几个值得关注的问题。首先，按母亲结婚年数分组和按初育后年数分组这两种方法的研发，在某种程度上是为了规避15-19岁和20-24岁妇女数据点上的选择性偏差。然而，在此应用中，这两种方法的估计值会在最近数据点上出现波动。这种偏差与基于年龄分组的偏差差不多，甚至更大。如果选择性偏差主要来自第一孩，那么这种情况可能的。在这种情况下，所有的(对于初育后年数来说)或者几乎所有的(对于母亲结婚年数来说)偏差都将集中在0-4年中；而对年龄而言，偏差一般会更加分散在各年龄组中。

第二个问题是使用调查时观测的孩次比来反映过去出生的时间分布。如上所述，如果生育率正在下降(即使生育的相对年龄模式没有改变)，则较年轻妇女的孩次数会更低而较年老妇女的孩次数会更高，从而使孩次比下降到任何真实队列的水平以下。这将揭示更近期的生育状况(从而降低儿童死亡历险的平均持续时间)而非实际所要考察的生育状况，从而高估儿童死亡率。

从1980年代中期到1999-2000年的人口和健康调查，孟加拉国经历了生育率大幅下降，所以使用这个个案可以探索可能偏差的大小。由于数据来自于完整生育史，我们可以通过将曾生子女数减去最近出生的孩子数来计算过去5年、10年和15年等不同时点上的队列子女数，然后计算出真正的队列孩次比。我们只能对那些达到第三个年龄组或第三个年数组的队列使用标准方法(使用比率 P(1)/P(2) 和 P(2)/P(3))，即年龄组为25-29岁及以上，初育后年数或者母亲结婚年数为10-14年及以上。

为了探讨这个问题，我们以一个完整生育史的调查为例，即孟加拉国1999 -2000年的人口和健康调查。我们用三种方法对该数据进行了列表，并使用普林斯顿南部类别模型生命表进行了分析。图16.3显示了每一种方法得到的五岁以下儿童死亡率估计值。(需要注意的是，这个特定的数据没有出现最近年龄组(15-19岁)死亡率严重高估的情况。)

图16.3 按年龄组、结婚年数和初育后年数分组的曾生子女死亡比例估算的五岁以下儿童死亡率，孟加拉国1999 -2000年的人口和健康调查

如果排除在每套估计值中最近的数据点(即年龄分组中的15-19岁，结婚年数分组和初育后年数分组中的0-4年)，那么三套估计值的总体趋势是非常相似的。结婚年数和初育后年数显示出儿童死亡率水平相似。但是从25-29岁年龄组开始，年龄分组得到的儿童死亡率就总是最高的(平均为155‰)，比其他两种方法平均高出20‰。剔除最近的数据点，按结婚年数分组和按初育后年数分组的平均值分别被估计为133‰和136‰，结果几乎相同，尽管这些估计值所覆盖的时期略有不同。

此应用中有几个值得关注的问题。首先，按母亲结婚年数分组和按初育后年数分组这两种方法的研发，在某种程度上是为了规避15-19岁和20-24岁妇女数据点上的选择性偏差。然而，在此应用中，这两种方法的估计值会在最近数据点上出现波动。这种偏差与基于年龄分组的偏差差不多，甚至更大。如果选择性偏差主要来自第一孩，那么这种情况可能的。在这种情况下，所有的(对于初育后年数来说)或者几乎所有的(对于母亲结婚年数来说)偏差都将集中在0-4年中；而对年龄而言，偏差一般会更加分散在各年龄组中。

第二个问题是使用调查时观测的孩次比来反映过去出生的时间分布。如上所述，如果生育率正在下降(即使生育的相对年龄模式没有改变)，则较年轻妇女的孩次数会更低而较年老妇女的孩次数会更高，从而使孩次比下降到任何真实队列的水平以下。这将揭示更近期的生育状况(从而降低儿童死亡历险的平均持续时间)而非实际所要考察的生育状况，从而高估儿童死亡率。

从1980年代中期到1999-2000年的人口和健康调查，孟加拉国经历了生育率大幅下降，所以使用这个个案可以探索可能偏差的大小。由于数据来自于完整生育史，我们可以通过将曾生子女数减去最近出生的孩子数来计算过去5年、10年和15年等不同时点上的队列子女数，然后计算出真正的队列孩次比。我们只能对那些达到第三个年龄组或第三个年数组的队列使用标准方法(使用比率 P(1)/P(2) 和 P(2)/P(3))，即年龄组为25-29岁及以上，初育后年数或者母亲结婚年数为10-14年及以上。

表16. 12调查时的孩次比和真实队列的孩次比 P(1)/P(2) 和 P(2)/P(3), 孟加拉国1999-2000年人口和健康调查

表16.12的上半部分比较了调查时的孩次比和队列孩次比。对于年龄分组法而言，其预期的模式非常清楚，调查时的孩次比明显低于任何队列的孩次比，而各个队列的孩次比相对稳定。然而，对于按初育后年数(中间部分)和按母亲结婚年数(下半部分)分组法来说，其模式不是十分清楚：P(2)/P(3)的比率一般要大于调查时的比率，而P(1)/P(2)的比率则一般要低于调查时的比率。

为了认识这种影响对估计值造成的严重程度，我们可以对每个曾生子女的死亡比例使用队列孩次比(年龄组25-29岁及以上，年数组10-14年及以上)。图16.4中三个图分别显示了，按年龄、结婚年数和初育后年数分组的情况下，不同对应时间的原始估计值和队列估计值。使用队列孩次比降低了年龄组25-29岁和30-34岁的估计值，但对于其他两种方法的估计值的影响不大。一个可能的解释是，孟加拉国在这个时期的生育率下降主要来自生育年龄的提高，而与母亲结婚年数和初育后年数的关系较小。使用队列孩次比的净效果在于提高方法间的一致性，但是损失了最近期的估算值。

图16.4基于调查时的孩次比和基于真实队列孩次比的5岁以下儿童死亡率的间接估算，孟加拉国1999-2000人口和健康调查

归根结底，如果生育率变化很快，年龄分组法可能会高估儿童死亡率；而这对其他两种方法的影响似乎要小些。如果有数据，建议使用结婚年数分组法或初育后年数分组法，而不要使用年龄分组法。但是，仅仅为了获得这个信息而在普查中设计一个额外问项可能并不值得。

儿童死亡率的间接估算在所有关于间接估算方法的经典手册中均有讨论(思劳格特，布拉斯和埃尔德里奇等 1994; 联合国人口司 1983)。

更多的阅读材料

Brass W and AJ Coale. 1968. "Methods of analysis and estimation," in Brass, W, AJ Coale, P Demeny, DF Heisel, et al. (eds). The Demography of Tropical Africa. Princeton NJ: Princeton University Press, pp. 88-139.

Brass W, AJ Coale, P Demeny, DF Heisel et al. (eds). 1968. The Demography of Tropical Africa. Princeton NJ: Princeton University Press.

Coale AJ and J Trussell. 1977. "Estimating the time to which Brass estimates apply; Annex I to Preston SH and Palloni A "Fine-tuning Brass-type mortality estimates with data on ages of surviving children"", Population Bulletin of the United Nations 10:87-89. https://www.un.org/development/desa/pd/content/population-bulletin-united-nations-special-issue-nos-10

Collumbien M and A Sloggett. 2001. "Adjustment methods for bias in the indirect childhood mortality estimates," in Zaba, B and J Blacker (eds). Brass Tacks: Essays in Medical Demography. London: Athlone, pp. 20-42.

Feeney G. 1976. "Estimating infant mortality rates from child survivorship data by age of mother", Asian and Pacific Census Newsletter 3(2):12-16. https://hdl.handle.net/10125/3556.

Feeney G. 1980. "Estimating infant mortality trends from child survivorship data", Population Studies 34(1):109-128. doi: https://dx.doi.org/10.1080/00324728.1980.10412839

Hill K and M-E Figueroa. 2001. "Child mortality estimation by time since first birth," in Zaba, B and J Blacker (eds). Brass Tacks: Essays in Medical Demography. London: Athlone, pp. 9-19.

Palloni A and L Heligman. 1985. "Re-estimation of structural parameters to obtain estimates of mortality in developing countries", Population Bulletin of the United Nations 18:10-33. https://www.un.org/development/desa/pd/content/population-bulletin-united-nations-special-issue-nos-18

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Sloggett A, W Brass, SM Eldridge, IM Timæus, P Ward and B Zaba. 1994. Estimation of Demographic Parameters from Census Data. Tokyo, Japan: United Nations Statistical Institute for Asia and the Pacific.

Sullivan JM. 1972. "Models for the estimation of the probability of dying between birth and exact ages of early childhood", Population Studies 26(1):79-97. doi: https://dx.doi.org/10.1080/00324728.1972.10405204

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UN Population Division. 1991. Child Mortality in Developing Countries. New York: United Nations, Department of Economic and Social Affairs, ST/ESA/SER.A/123. https://www.un.org/development/desa/pd/content/child-mortality-developing-countries-socio-economic-differentials-trends-and-implications