普莱斯顿-科尔法

可用数据：单次普查数据

期望得到的数据：成年人死亡率

方法：假想世代消亡法

方法描述

普莱斯顿-科尔法(普莱斯顿、科尔、特拉赛尔等 1980)是后来被称之为死亡人数分布法的众多方法中第二个方法，它被用来估算在某个时点上相对于一个人口估计数的完整率而言的死亡申报完整率。该方法立足于这样一个观测，即一个人口在某个时点上某一年龄的存活人口数必须等于该队列在该时点后的死亡人口数。如果一个观测人口是稳定的(即不同时间上的年龄结构不变(至少在成年人年龄段如此)，每年以恒定的速率r增长的人口)，没有迁移且数据申报准确，那么x岁的人口在未来t年后的死亡数将等于目前x岁的死亡数乘以\(e^{rt}\)。因此，可以仅使用当前y岁以上的死亡人数和稳定增长率r来估算当前年龄y岁的人口。若当前的死亡人数存在漏报，但可以假定每个年龄上都存在相同程度的死亡人数漏报c，则队列未来的死亡数的低估程度都是相同的。因此，可以用从任何时期的死亡数估算的队列未来死亡数的总和除以同期的人口数来估算死亡申报数的完整率。而死亡率可以通过将各成年人年龄组申报的死亡人数除以c，再将这些数字除以历险人口的估计数得到。

本方法是更一般意义上的假想世代消亡法的一个特例。假想世代消亡法需要已知两个时点上的人口估计数，但并不要求观测人口是稳定人口。读者可参考第25章《假想世代消亡法》以获得更详细的信息。本手册中，该方法被视为当仅已知一个时点上的人口估计数时可供考虑使用的一种方法。

数据要求和假定

需要的数据列表

• 在一个特定时期内，各五岁年龄组和开放年龄组A+ (A尽可能地高)的女性(男性)死亡人数。

• 死亡申报所对应(或接近)的时期内，各五岁年龄组和开放年龄组A+的女性(男性)人数。

重要假定

人口是一个稳定人口，尽管这种假定可以适当放宽(见下文)。

最低年龄(通常为15岁)以上的所有年龄上的死亡申报的完整率相同。

没有人口迁移，尽管当净迁移率相对于死亡率较小时，或当按年龄分布的移民估计数相当准确可以满足平衡方程要求时(这种情况非常之少)，这个假设可以放宽。

准备工作和初步检查

应用这种方法之前，分析人员应至少在以下几方面检查数据质量：

人口的年龄结构,

人口的性别结构,

死亡人数的年龄结构,

死亡人数的性别结构。

注意事项和提示

应用这种方法时，分析人员必须特别注意以下几方面：

• 解释和估算过程需要考虑到如下所述的死亡数据来源(生命登记数据、普查中家庭户申报的死亡数或医疗机构登记的死亡数)。

• 如果将本方法应用于国家内部的各个区域，人口迁移通常是一个更大的问题。

• 当决定用来确定增长率的年龄范围(即，得出的年龄别完整率的估计值能够最小化平均完整率估计值的绝对差)时，会存在如下问题：对于相同的数据，由布拉斯增长平衡法求得的截距是否是增长率的最佳估计(如果完整率在老年人群中可能因为退休而出现下降，该截距就是增长率的最佳估计)？由于本方法假定没有迁移，而30或35岁以下的人口的流动性较大，那么是否应将此年龄段上的人口从分析中予以剔除？

• 确定用来估计完整率的年龄范围。通常地，若存在较大规模的未被统计的人口迁移，年龄范围可能要剔除年轻成年人；若申报的老年人死亡数比年轻成年人少，年龄范围可能也要剔除老年人。

• 确保在Excel软件下规划求解程序能正常运行(即, 可得出合理的结果)。规划求解程序偶尔会产生一个明显过低的结果。在这种情况下，最好在正确的方向上手动调整初始值，并从这个新的起点值起运行规划求解程序。

• 确保开放年龄组平均预期寿命的估计值是合理的。通常，老年人的数据匮乏且特别容易出错。因此，根据这些数据估算的预期寿命可能不可信(往往太高)。

• 若死亡申报的完整率低于60％，则使用本方法时应谨慎，因为估计值的不确定性会较大。

方法的应用

本方法的应用步骤如下:

步骤 1：设置初始增长率

初始增长率可以通过两个时点上超过某一个特定年龄(该年龄应最符合稳定人口的假定)的总人口估计值，或通过布拉斯增长平衡法进行估算。在第一种情况下，如果我们有时点$$t_1$$和$$t_2$$的总人口估计值，就可估算出增长率，算式如下：

\(r=\frac{\ln\left({}_{\infty}N_x(t_2)/{}_{\infty}N_x(t_1)\right)}{t_2-t_1}\)

其中，\({}_{\infty}N_x(t)\)是在时点$$t$$时$$x$$ 岁及以上年龄的人口数。

步骤 2：估算65岁至年龄$$A$$岁每隔五岁年龄上的平均预期寿命

此步骤可通过以下几种方式之一来完成。

1) 如果有可靠的估计数，选择一个独立来源的估计值。可能的数据来源包括前人的研究或诸如《世界人口展望》(联合国人口司 2011)等的人口预测。

2) 使用由布拉斯增长平衡法求得的估计值。本章随附的工作簿示例了如何运用该方法输出这类估计值。

3) 用10－39岁与40－59岁年龄组的死亡申报数的比率$$({}_{30}D_{10}/{}_{20}D_{40})$$(通过比较)来确定西部模型生命表的水平，并从中选取相应的平均预期寿命的估计值。本章随附的工作簿示例了如何运用该方法输出这类估计值。遗憾的是，由于西部模型生命表不能反映艾滋病死亡率，这种方法不适用于艾滋病高发的国家。

4) 设定一个合理的初始值，如由西部模型生命表中得到的估计值(尽管在某些情况下，这种方法可能不适用于艾滋病高发的国家)，或由一个独立来源的数据估计得到的值，通过迭代计算得到平均预期寿命。然后估计其完整率，即从随附工作簿的life expectancies电子工作表中复制平均预期寿命，将这些值粘贴到随附工作簿的Method工作表中并重新估计其完整率。若有必要，不断重复以上步骤直至预期寿命的变化变得不再显著为止。遗憾的是，即使是不完整率被校正以后，如果仍有理由怀疑死亡率在较高年龄组被低估(例如，如果存在明显的年龄高报现象，或在较高年龄组存在相对更高的申报不完整率)，那么这种方法还是会高估平均预期寿命，从而高估申报完整率的整体水平。

步骤 3：基于死亡申报数估算达到年龄$$x$$岁的人口数和年龄$$x$$至$$x+4$$岁的人口数

死亡申报期间，达到年龄$$x$$岁的人口数可通过死亡申报数估算如下：

\(\hat{N}_x=\hat{N}_{x+5}\exp(5r)+{}_{5}D_x\exp(2.5r)\)和\(\hat{N}_A={}_{\infty}D_A\left(\exp(r e_A)-\frac{(r e_A)^2}{6}\right)\)，

其中，$$A$$为开放年龄组的起始年龄，$$r$$为年人口增长率，$$e_A$$为年龄$$A$$的平均预期寿命。

死亡申报期间，年龄$$x$$至$$x + 4$$岁的人口数可通过五年内达到年龄$$x$$岁的人口数来估算，公式如下：

\({}_{5}\hat{N}_x=2.5\left(\hat{N}_x+\hat{N}_{x+5}\right)\)。

步骤 4：基于普查人口估算死亡申报期内年龄$$x$$至$$x+4$$岁的人口数

死亡申报期内年龄$$x$$至$$x + 4$$岁的人口数可基于人口普查数据，简单地将该年龄组的人口数乘以死亡申报数所对应的时间长度(以年为单位)加以估算。

步骤 5：分别计算基于死亡申报数求得的年龄$$x$$至$$x+4$$岁和$$x$$至$$A-1$$岁的估计值与基于普查人口数求得的相应估计值的比率

基于申报的死亡人数获取的估计值和基于普查人口数获取的估计值，可以求出两套比率。第一套比率是五岁年龄组上的比率，可直接计算。第二套是从年龄$$x$$岁至开放年龄组$$A$$岁的比率，其中达到$$x$$岁至$$A–1$$岁的人口数可视为$$x$$岁至$$A–5$$岁区间各个五岁组人口数的累计。 即：

\({}_{A-x}\hat{N}_x=\sum_{a=x}^{A-5}{}_{5}\hat{N}_a\)。

步骤 6：估算死亡申报的完整率

为了确定死亡申报完整率的水平，首先需要确定增长率的初始选择是否正确。关于比率图的解释将在下文更详细地讨论。但实质上，正确的增长率就是使分年龄比率分布得最水平的那个增长率。Method工作表作了设置使规划求解(数据、规划求解、求解)能在用户指定年龄范围内找到一个增长率，而该增长率使各年龄比率与其平均值的绝对离差最小。

如果增长率的初步估计在整个成年人年龄组产生一套水平分布的比率，但在较高年龄组比率显著下移，这可能表明在较高年龄组完整率有所下降(例如,可能是因为人们退休后从市区迁到登记完整率较低的农村地区)。在这种情况下，不去设置产生一套水平分布比率的增长率，而使用最初选择的增长率就尤为重要。

如果要用迭代法同时求解增长率和平均预期寿命，需将平均预期寿命的值从Life expectancies电子工作表粘贴到Method电子工作表中, 产生一套新的增长率。这个过程可能需要重复两至三次，直到平均预期寿命没有显著变化为止。

最后，要决定用于确定完整率比率的年龄范围。如果在较高年龄组有一个显著向上的弯曲，这可能表示存在年龄高报，特别是可能存在死亡人口中的年龄高报。此时，需要尝试确定一个年龄作为开放年龄的下限，使其以下的年龄上的高报现象不明显。如果完整率在年龄低于35岁时就出现下滑，则可能表明存在未被统计的人口迁出。如果有这种嫌疑，那么在确定增长率或者完整率时应剔除这些年龄。

完整率可通过五岁年龄组别的比率来估算。为了获得一个有统计说服力的估计值，可以加总中位数的50％以及这些比率的四分之三分位点和四分之一分位点各自的25％。

但是，由于这个完整率的估算假定了普查人口对应于死亡登记时期的时间长度中点，需要校正普查时点与死亡登记所对应时间长度中点之间的差异。为校正这种差异，我们需要将完整率的估计值乘以人口普查数与时点$$t_m$$上的人口估计数的比值，并假定稳定人口按a估算的年增长率，即\(\exp\{a(t_c-t_m)\}\)增长，其中，$$t_c$$为普查时点，$$t_m$$为死亡申报数所对应时间长度的中点。

步骤 7：估算调整了死亡申报不完整率后的死亡率

为计算死亡率，首先需要将普查人口数乘以\(\exp\{-a(t_c-t_m)\}\)来估算在死亡登记数所对应时间区间中点上各五岁年龄组的人口数。

下一步需将死亡申报数除以申报完整率的估计值，$$c$$，以调整死亡数的不完整率。

历险人年数的估算是由$$t_m$$时点的人口估计数乘以死亡申报数所对应时间的长度，$$t$$，来计算的。所以，调整了死亡申报数不完整率后的死亡率可用如下公式估算：

\({}_{5}m_x=\frac{{}_{5}D_x/c}{t\,{}_{5}N_x\exp\{-a(t_c-t_m)\}}\)。

由于分子(通过$$c$$的估计值而得到)及分母同时包含了调整因子\(\exp\{-a(t_c-t_m)\}\)，(在步骤 6和步骤 7)省略这个调整因子仍会得到相同的死亡率。但若时点$$t_m$$的人口数与普查时点$$t_c$$的人口数相同，那么死亡申报完整率则不会有变化。

步骤 8：用罗吉特关联模型生命表进行平滑

由于年龄别死亡率会出现剧烈的异常波动，因此需要对它们进行平滑处理。可以先找到一个与所研究人口死亡率分布具有相同形状的分性别的标准生命表，然后对其拟合一个布拉斯罗吉特关联函数，从而实现平滑。

本章随附的工作簿包含了一个电子表格。其中可以通过一个罗吉特关联模型对调整过的死亡率生成的生命表进行拟合而得到一组平滑的死亡率。用户可以从联合国模型生命表中的一般类别中或从任何四个普林斯顿模型生命表类别中选择一个标准。如果有理由认为某一生命表更接近于所研究人口的成年人死亡率模式，则可以用该生命表作为标准生命表。

为拟合这个模型，$$x$$岁的人在未来5年内的死亡概率，$${}_5q_x$$，可根据调整过的死亡率估算如下：

\({}_{5}q_x=\frac{5\,{}_{5}m_x}{1+2.5\,{}_{5}m_x}\)。

据此， 基准值l5 = 1的生命表计算如下：

\(l_{x+5}=l_x(1-{}_{5}q_x)\),

系数α和β由拟合的罗吉特关联模型确定如下：

\(\gamma_x=\alpha+\beta\gamma_x^s\)，

其中，

\(\gamma_x=0.5\ln\left(\frac{1-l_x}{l_x}\right)\),

上标's'表示是来自标准生命表中的值。

通过系数α和β，拟合生命表就可由标准生命表估算如下：

\(\gamma_x^{\mathrm{fitted}}=\alpha+\beta\gamma_x^s\)和\(l_x^{\mathrm{fitted}}=\frac{1}{1+\exp\left(2\gamma_x^{\mathrm{fitted}}\right)}\)。

平滑过的死亡率可用该生命表推导如下：

\({}_{5}m_x^{\mathrm{fitted}}=\frac{l_x^{\mathrm{fitted}}-l_{x+5}^{\mathrm{fitted}}}{T_x-T_{x+5}}\)和\({}_{\infty}m_x^{\mathrm{fitted}}=\frac{l_x^{\mathrm{fitted}}}{T_x}\)，

其中

\[ T_x=\sum_{x=x,5}^{\omega}\frac{5}{2}\left(l_x^{\mathrm{fitted}}+l_{x+5}^{\mathrm{fitted}}\right)
\]

即

\(T_x=T_{x+5}+\frac{5}{2}\left(l_x^{\mathrm{fitted}}+l_{x+5}^{\mathrm{fitted}}\right)\)。

而ω是最高年龄，生命表中超过该年龄没有人存活。

平均预期寿命推导如下：

\(e_x=\frac{T_x}{l_x}\)。

若需在较高年龄组迭代估算平均预期寿命，这些值可被用于重新估算完整率。

示例

本例使用萨尔瓦多1961年人口普查中女性人口数据和萨尔瓦多日历年份1961年生命登记中的死亡数据。本示例可在PnC_El_Salvador工作簿中找到。1961年人口普查标准时点为5月5日和6日之间的午夜，所以在工作表Introduction中输入的普查日期为1961年5月6日。

步骤 1：设置初始增长率

使用《手册十》中1950年、1961年和1971年人口普查10岁及以上年龄的人口数估算出的增长率为2.8％，而用布拉斯增长平衡法对这些数据估算的增长率为3.1％，此数值非常接近于美国人口普查局国际数据库的估计值，比如1955年和1965年的年中人口所估计的增长率如下：

\(r=\frac{\ln(3017852/2221139)}{1965-1955}=0.0307\)。

步骤 2：估算65岁至年龄$$A$$岁每隔五岁年龄上的平均预期寿命

运用布拉斯增长平衡法从数据中所得的估算结果示于表21.1第2列。
10－39岁组(1706)与40－59岁组(1467)的死亡申报的比率为\(\frac{1706}{1467}=1.16\)。与之对应的女性西部模型生命表的平均预期寿命由内插法(根据工作簿的Life expectancies工作表中的表格)确定，并示于表21.1第3列。例如，65岁组的平均预期寿命为：

\(e_{65}=9.50+\frac{1.171-1.16}{1.171-1.115}(9.86-9.50)=9.552\)。

通过将西部模型生命表中的估计值作为初始值迭代求解增长率和平均预期寿命，得到增长率的估计值为3.065％(将在下文更详细地解释)，最终的平均预期寿命估算值示于表21.1第4列。

表21.1 不同数据来源的平均预期寿命，萨尔瓦多1961年人口普查，女性

1961年时，艾滋病尚未成为萨尔瓦多的一个问题，分析人员可以使用工作簿Life expectancies工作表中给出的西部模型生命表来估算死亡申报的完整率。然而，即使表21.1中的估计值(开放年龄75+岁组的观测死亡率与逐渐上升的死亡率)的比较表明存在年龄高报现象或者因为大于75岁年龄段完整率出现下降而很可能轻微地高估了完整率，但作为示例，本工作簿还是使用了迭代估算值。

步骤 3：基于死亡申报数估算达到年龄x岁的人口数和年龄$$x$$至$$x+4$$岁的人口数

用开放年龄组为75+岁的各年龄组的死亡人数、增长率3.065％和表21.1第4列的平均预期寿命来估算的在死亡申报所对应的时间区间内达到x岁的人口数示于表21.2第4列。例如，死亡申报所对应的时间区间内达到70岁的人口数估算如下：

\(\hat{N}_{75}=1360\left(\exp(0.03065\times7.76)-\frac{(0.03065\times7.76)^2}{6}\right)=1712.11\)，

\(\hat{N}_{70}=1712\exp(5\times0.03065)+504\exp(2.5\times0.03065)=2539.76\)。

死亡申报所对应的时间区间内年龄x至x + 4岁的人口数，可通过表21.2第5列给出的死亡申报数估算。例如，20岁至24岁的人口数计算如下：

\({}_{5}\hat{N}_{20}=2.5(21542+18212)=99382.90\)。

表21.2 用死亡申报数、人口普查数和估算值的比率计算x至x+4岁的人口数，萨尔瓦多1961年人口普查

步骤 4：基于普查人口估算死亡申报期内年龄$$x$$至$$x+4$$岁的人口数

鉴于死亡登记时间为一年，死亡申报期内$$x$$至$$x+4$$岁的人数即为该年龄组的普查人数，因为乘以1，人数没有发生变化(即表21.2中第6列的数字与第2列相同)。

步骤 5：计算基于死亡申报数求得的估计值与基于普查人口数求得的估计值的比率

死亡申报所对应的时间区间内基于死亡申报人数估算的年龄$$x$$至$$x + 4$$岁的人口数与基于人口普查估算出的相应人口数的比率示于表21.2的第7和第8列。如，65岁的比率计算如下：

\(\frac{{}_{5}\hat{N}_{65}}{{}_{5}N_{65}}=\frac{14962}{14964}=0.9999\)，

\(\frac{{}_{10}\hat{N}_{65}}{{}_{10}N_{65}}=\frac{14962+10630}{14964+11205}=0.9779\)。

步骤 6：估算死亡申报的完整率

虽然运用布拉斯增长平衡法所得到的增长率的估计值会产生一套比率，有着令人满意的水平分布，但为了示例方法，本例决定求解增长率并用迭代法来计算平均预期寿命。产生的比率图示于图21.1。

由于图21.1没有明显的一致的趋势(一致向上趋势或一致向下趋势)，我们用5岁到74岁的数据并通过规划求解使偏差最小化来确定增长率。为避免在最高的几个年龄组上出现完整率估算值的波动，完整率的估算值只用了15岁至64岁的比率(尽管单个年龄上波动对估计值的影响不大)。其得到的完整率为89％，算式如下：

\(c=\left(0.5\times0.8764+0.25(0.8575+0.9144)\right)\exp\left(0.0306(1961.34-1961.50)\right)\)

\(=0.8812\times1.005=88.6\%\)。

图21.1 分年龄的死亡登记完整率，萨尔瓦多1961年人口普查

步骤 7：估算调整了死亡申报不完整率后的死亡率

死亡登记数所对应时间区间中点上的人口数，可通过用两个时点之间的估计增长率3.1％对普查人口数进行调整而得到。这些调整后的估计值示于表21.3的第2列。例如，15-19岁年龄组的人口估计数为：

\({}_{5}N_{15}(t_m)=125040\exp\left(0.0306(1961.34-1961.50)\right)=125040e^{0.0306\times0.16}=125655.7\)。

下一步是用各年龄组申报的死亡人数除以完整率的估计值来调整死亡人数。这些调整后的值示于表21.3第3列。例如，调整后的15－19岁组的死亡数是基于申报的死亡人数266(示于表21.1第3列)用下式来求得的：

\(\frac{266}{0.8855}=300.4\)。

调整后的生存人年数(表21.3的第4列)等于死亡登记人数所对应的时间区间中点的人口数(表21.3第2列)乘以这些死亡登记数所对应的时间长度(年数)。在本例中，时间长度为一年。

死亡申报完整率调整后的死亡率(表21.3第5列)是将调整后的死亡人数除以调整后的生存人年数得出。例如，15－19岁年龄组的调整后的死亡率的计算方法如下：

\(\frac{300.40}{125656}=0.00239\)。

表21.3 计算调整后的死亡率，萨尔瓦多1961年人口普查

步骤 8：用罗吉特关联模型生命表进行平滑

用调整后的死亡率估算出的$$x$$岁女性在未来五年内的死亡概率，$${}_5q_x$$，示于表21.4的第2列。例如，一个15岁的女性活到20岁前死亡的概率计算如下：

\({}_{5}q_{15}=\frac{5\times0.00239}{1+2.5\times0.00239}=0.0119\)。

使用这些值估算的从$$x$$岁存活到$$x+5$$岁的五岁组的生命表存活概率示于表21.4中第3列。例如，从5岁活到20岁的存活比例计算如下：

\(l_{20}=0.9743(1-0.01188)=0.9627\)。

条件存活概率的罗吉特转换值示于表21.4第4列。例如，$$l_{20}$$的罗吉特转换值计算如下：

\(\gamma_{20}=0.5\ln\left(\frac{1-0.9627}{0.9627}\right)=-1.6254\)。

在$$e_0=60$$时，普林斯顿西部女性模型生命表的存活比例示于表21.4第5列，其罗吉特转换的结果示于表21.4第6列。如图21.2中所示，除最小的年龄组外，西部模型对数据的拟合性良好。

表21.4 用罗吉特关联模型生命表计算的平滑死亡率，萨尔瓦多1961年人口普查

系数α和β分别为用表21.4第4列和第6列中罗吉特转换值在用户所选择年龄范围内(本例中为45岁和75岁)拟合的直线的截距和斜率，其值分别为0.0094和0.9754。选择45岁至75岁是因为较高年龄组的拟合对估算开放年龄组起始年龄的平均预期寿命是很重要的。

这些系数随后被用于条件模型生命表的罗吉特转换，从而生成表21.4第7列中的拟合的罗吉特值。因此，例如，20岁时，拟合的罗吉特值计算如下：

\(\gamma_{20}^{\mathrm{fitted}}=0.0094+0.9754\times(-1.7060)=-1.6547\)。

这些值随后被用于生成表21.4第8列中拟合的生存函数。例如，20岁时的生存函数计算如下：

\(l_{20}^{\mathrm{fitted}}=\frac{1}{1+\exp\left(2\times(-1.6547)\right)}=0.9648\)。

图21.2 观测到的罗吉特值和调整的死亡率对比基于西部女性模型生命表的预期值，萨尔瓦多1961年人口普查

根据拟合的生存函数可以计算表21.4第9列中的条件生存人年数，$$T_x$$。用这些条件生存人年数便可求得表21.4第11列中的平滑的死亡率。例如，80岁的条件生存人年数和80－84岁组的平滑的死亡率分别为，

\(T_{80}=0.53+\frac{5}{2}(0.256+0.1234)=1.478\),

\({}_{5}m_{80}^{\mathrm{fitted}}=\frac{0.256-0.1234}{1.478-0.53}=0.1399\)。

表21.4第10列中的平均预期寿命是用第9列的数字除以第8列的数字。如65岁的平均预期寿命为：

\(\frac{8.426}{0.6413}=13.139\)。

诊断、分析和解释

核查和验证

上面的例子源自《手册十》(联合国人口司1983)。《手册十》中，使用本方法和布拉斯增长平衡法得到的完整率估计值均约为83 %。《手册十》中的两个估计值与运用本方法所得结果(89％)之间的差异很大程度上归因于对开放年龄组(A)人口估算方法的不同。由于本方法求得的增长率(3.02％)比《手册十》的(2.87％)高，因此两种方法之间得到的全部差异已经在一定程度有所减少(相对于《手册十》中的估计值)。相应地，本方法如果使用基于西部模型生命表(表21.1第3列)计算出的平均预期寿命，则估算出的完整率为85％。

解释

图21.1所绘制的系列点没有一致的趋势(一致向上趋势或一致向下趋势)，因此没有理由降低开放年龄组的年龄。但是，由于完整率估计值在70+岁开放年龄组为85％，而在65+岁开放年龄组为76％，那么如果必须要降低开放年龄组年龄，则会在选择完整率估计值时产生问题。随附的工作簿不允许开放年龄组小于65+岁。但倘若使用60+岁为开放年龄组，完整率的估计值会高于76％。一般来说，我们不建议在一个有年龄数字偏好的人口中用尾数为零的年龄作为开放年龄组的最低年龄。

综上所述，这些估计值表明，死亡申报的完整率约为85％，低于比采用布拉斯增长平衡法对这些数据估计出的92％。有趣的是，若使用了基于西部模型生命表$${}_{30}D_{10}$$ 与$${}_{20}D_{40}$$的比率(并以75+岁为开放年龄组)估算的平均预期寿命，完整率的估计值将下降至85％，但平滑完整率得出的平均预期寿命比其他用来估算完整率的平均预期寿命更接近于迭代得到的估计值。这表明，此方法对不同的平均预期寿命估计值并不非常敏感，特别是当开放年龄组为一个较高的年龄时。

其他一些与方法有关的问题

死亡申报数的来源

一般地，死亡数据有两种类型的问题：一类是导致所有年龄上的调查覆盖面本应相同但实际上却不足或过度的问题。这类问题正是本方法旨在解决的。另一类是导致不同年龄具有不同覆盖面的问题。此类问题能使估计值失真。虽然处理不同来源的死亡数据的一般方法和原理都基本相同，但不同来源的死亡数据会产生不同的偏差，从而可能影响对结果的解释。这些差异虽可由特定的示例阐明，但是一般来说，需要留意死亡数据中的下列偏差。

1)生命登记

如果城乡(或其他类似的代理变量)之间的人口比例随龄变化存在显著不同，且城市地区死亡申报数的完整率明显高于农村地区，那么完整率与年龄无关的假定很可能不成立。这是因为当一部分人因退休从城市迁移到农村时，50岁后完整率会大幅下降。如果忽略这一点，这种对假定的违反很可能会导致对整体完整率水平的低估。

2)普查/调查中的家庭户的死亡申报数

此类数据存在三个潜在问题：

• 如果有较大比例的家庭因关键人物(如养家糊口的人)的死亡而解散，那么这类人的死亡漏报就会破坏完整率是不随年龄改变的假定。如果某些年龄组上相当一部分的死亡比例是基于非家庭户的人群(例如，住在敬老院的人群)，对假定的违反会更加严重。然而，这一问题在大多数发展中国家并不普遍。

• 当青年人离家到城市地区工作时，他们可能被视为多个家庭的成员(或不属于任何家庭)，他们的死亡就可能会被多次申报(或根本不被申报)，这就同样地违反完整率是不随年龄改变的假定。在这种情况下，在确定完整率时，可以剔除某一特定年龄以下的数据点以减少这种影响。

• 参考周期误差：由于对死亡人数申报的具体时段常常是不清楚的，更不用说确切的死亡日期了，因此死亡申报时有可能存在漏报和重报。如果假定这些误报与死者的年龄无关，这种失真会在估计完整率时被考虑，从而对死亡率估计的影响不大。

3)医疗机构中的死亡登记数

这种来源的数据的质量好坏鲜为人知。然而，可以预期，完整率会取决于搜集数据的卫生服务部门的分布。在许多发展中国家，这种部门很可能集中在城市地区。同理，如果城市人口与农村人口的年龄分布不同，那么完整率就不能被认为与年龄无关。当然，也可能存在某些特定因素影响着医疗机构中的死亡登记数，如果这些因素很显著且与年龄相关，则可能会进一步违反完整率在所有年龄上不变的假定。

在所有这些情况下，分析人员应避免试图通过调整增长率来产生一套水平分布的比率，相反，应注意完整率的估计值$$c$$所涉及的年龄范围，要确保该年龄范围不包括那些死亡申报要么过于完整、要么非常不完整的年龄。

一般的诊断解释

在实践中，如果假定被违反，\(\frac{{}_{5}\hat{N}_x}{{}_{5}N_x}\)和\(\frac{{}_{A}\hat{N}_x}{{}_{A}N_x}\)两个序列都会受到影响。但在本方法下，大多数对假定的违反都会产生不同于预期水平线的较为独特的偏差。在某些情况下，这些偏差是可解释的。举例如下：

• 不正确的增长率：如果r过高，随着年龄的增长，数据点序列会以近乎直线的方式向下偏离完整率，反之亦然。这可通过检验下列的方程(1)得出结论。此种效果对\(\frac{{}_{5}\hat{N}_x}{{}_{5}N_x}\)的影响比对\(\frac{{}_{A}\hat{N}_x}{{}_{A}N_x}\)更大。

• 年龄的高报：通常而言，亲属在申报死亡者的死亡年龄时的高报现象比存活者申报自身年龄时的高报现象要更严重。这将导致一个不断上升的数据序列，在开始时难以察觉，直到高报起始年龄时，才会出现急剧上升趋势。这种现象也可通过检查下列的等式(1)而得以确认，这是因为年龄高报不仅会导致老年人死亡数量在较高年龄组的增加，而且较高年龄组内部的死亡人数的错位也会导致那些死亡数被乘上了一个更大的指数项，尽管这种影响不大。提高特定年龄以上的死亡登记的完整率也会产生同样的效果。但是，在实践中似乎尚未有这方面的证据(普莱斯顿、科尔、特拉赛尔等 1980)。

• 人口估计中的年龄误报和年龄误登：这可通过在年龄区间上的一个不规则的序列来展示。由于\(\hat{N}_x\)是一个累计值，它往往与人口的年龄分布高度吻合。因此，如果出现锯齿线，那么出现的峰值就很可能与人口中的年龄规避或漏报有关，而出现的谷值则很可能与人口中的年龄堆积或重报有关。如果这些波动与年龄无关，将不会对完整率的估计值有重大影响。布莱克尔(1988)建议使用18－22岁、23－27岁等年龄组以去除锯齿线，并在布拉斯增长平衡法的斜率估计中展示了这种去除法的偏差。但如果这些偏差是系统性的，比如在某一年龄以下存在未被统计的人口迁移，那么在估算完整率中剔除这些点可能会更好。

通常，可以在很大程度上去除年龄高报的影响，即将开放年龄组的起始年龄降低到一个足够年轻的年龄，从而使大多数年龄的高报仅发生在开放年龄组。

为了区分一个不断下降的比率序列是因为死亡率的改善还是因为选择了一个过高增长率，需要从其他数据来源寻求证据，以确定更可能的解释。如果人口已经经历了死亡率的下降，那么从10岁到，比如说，45岁的累计人口数的比率的中位数，应该仍然能估算出一个合理的死亡申报完整率的估计值。尽管这个方法有很多优势，且比布拉斯增长平衡法在不稳定情况下更可靠，但它比后者对某些类型的年龄误报更敏感。因此，除非可以通过其他方法确认假定(特别是对增长率的假定)，否则并不总是能够获得死亡数据完整率的单个可靠的估计值。

方法的详述

数理阐述

普莱斯顿-科尔法是假想世代消亡法的一个特例，即假定了$$x+$$岁的人口增长率为$$r(x+)$$，且在各年龄都保持不变。

本方法由普莱斯顿和希尔(1980)提出，并由普莱斯顿、科尔、特拉赛尔等(1980)进一步发展，最早可追溯到由文森特(1951)首先提出的世代消亡法。本方法是基于这样一个思路，即在某个时点某一特定年龄的人口数必须等于这个队列从那时起直至最后一个存活者死亡的总死亡数。

在稳定封闭的人口中，存在如下关系：

\(N_x=\sum_{a=x}^\overline{\omega}D_a e^{r(a-x)} \tag{1} \)

其中，\(D_a\)是与\(N_x\)相同时点上的死亡人数，因为在稳定封闭的人口中，死亡登记年份t年后预计的年龄为a岁的死亡人数\(D_{a,t}\)等于\(D_a e^{rt}\)。

若我们不知\(D_a\)而已知\(D_a^r\)，即年龄x 岁的登记死亡人数，且若我们通过\(\hat{N}_x=\sum_{a=x}^{\omega}D_a^r e^{r(a-x)}\)，来估计$$x$$岁的人口数\(\hat{N}_x\)，则\(\hat{N}_x/N_x\)(\(N_x\)为死亡登记时期中点的真实人口数)表示年龄$$x$$岁及以上人口中被登记的百分比$$cx+$$。如果已知其他某时点的\(N_x\)，那么用增长率r就可对两个时点间的人口增长进行调整。但如果完整率的估算是为了计算死亡率，则分子和分母上都会出现相同的校正因子，因而可以对校正因子忽略不计。

然而在实际计算\(\hat{N}_x\)的过程中还有一个问题，当所有申报的死亡人数都被归于一个开放年龄组\(D_{A+}^r\)(A是开放年龄组的下限年龄)时，不太可能获取\(D_a^r\)(即使是可获取也不太可能很精确)。就解决这一问题，已有多种方法提出了一些建议。例如，《手册十》(联合国人口司1983:134)建议，假定死亡率模型适合科尔、德曼尼和沃恩(1983)生命表中的一个，\(\hat{N}_A\)可估算如下：

\(\hat{N}_A=D_{A+}e^{r z(A)}\)，其中\(z(A)=a(A)+b(A)+c(A)e^{[D_{45+}/D_{10+}]}\)。

这些系数已被列表(参见联合国人口司(1983)第 134页中的表123)，并可通过\(D_{45+}^r/D_{10+}^r\)估算\(D_{45+}/D_{10+}\)。

另外，贝纳特和堀内(1984)提出，年龄 A岁的人口数可以用下列公式估算：

\(\hat{N}_A={}_{\infty}D_A\left(\exp(r e_A)-\frac{(r e_A)^2}{6}\right)\)

其中，平均预期寿命是基于年龄10岁至40岁与40岁至60岁申报的死亡人数的比率通过基于普林斯顿西部模型生命表内插而得到的。

由于\(\hat{N}_x\)可以用\({}_{5}D_x^r e^{2.5r}+\hat{N}_{x+5}e^{5r}\)近似表达，所以一旦估计了\(\hat{N}_A\)， \(\hat{N}_x\)就可以通过\(D_x^r\)来估算。

局限性

以上所阐述的并被用于随附工作簿示例中的方法，其主要限制性在于这种方法假定人口是一个没有迁移且稳定的人口。当这些假定在较大程度上不符合时，不应该使用这种方法。撇开不恰当的应用示例不谈，基于相同的年龄范围，用这种方法(数据示于SEG_South Africa_males工作簿中)来估算南非2001年人口普查和2007年人口普查替代调查之间死亡人数申报的完整率(用两个调查的平均数来估算两次调查区间中点的人口数)，所得出的结果为84％。而将拟合直线的最低年龄提高到35岁，则完整率提高到86％，仍低于使用假想世代消亡法得到的94％。

本方法比布拉斯增长平衡法更易受到年龄误报的影响。如上所述，特别是死亡申报时通常存在的年龄高报倾向(相对于普查中登记的死亡年龄)将使高于该高报年龄上的数据点在图中明显上升。这种情况下，最好使用由布拉斯增长平衡法估算的增长率。此外，如前文所言，如果数据中存在严重的年龄尾数偏好，本方法也对开放年龄组的选择敏感。这个问题最有可能存在于普查数据中。

本方法较不易受到因死亡率急剧变化而导致的人口不稳定的影响(马丁 1980)。但对于布拉斯增长平衡法，数据模拟显示(拉沙德 1978)，死亡率缓慢改善(如一些发展中国家在没有流行病、饥荒和战争等情况下发生的死亡率改善)所产生的偏差也是相当小的。

至于生育率的变化，往往对本方法的表现几乎没有影响，这是因为它们主要影响那些最小的年龄组而这些年龄组对完整率的估计值影响有限。如果必要的话，在确定增长率和完整率的估计值时可剔除这些年龄组。

迁移有可能影响年轻的成年人口(主要是20岁至35岁)，但对主要发生在老年期的死亡数的影响较小。未被统计的人口迁入往往会降低斜率，从而导致死亡登记覆盖面的高估和死亡率的低估。未被统计的人口迁入会产生相反的效果。一些人口学家主张将拟合直线的数据点下降到5岁以减少人口迁移漏报的影响。这种主张的假定是，因5－14岁间的死亡率较低，这些年龄上死亡申报的完整率与老年期死亡申报的完整率之间的任何差异不可能导致死亡率较大程度上的歪曲。但是，这种调整能否在很大程度上消除偏差是值得怀疑的。

相反地，可以选择35岁及以上年龄的数据点来拟合直线以消除迁移的影响。然而，较大年龄上的数据质量经常更成问题，从而会降低完整率估计的可靠性。虽然使用这些调整可能会比简单地忽略人口迁移得到更好的估计结果，但遗憾的是，关于这些调整方法得到的完整率估计的准确性，相关研究很少。

技术上而言，如果有可靠的年龄别净迁移估计数，可以将增长率r替换成$$r – {}_5i_{x}$$，其中$${}_{5}i_{x}$$是在推导\(\hat{N}_x\)时年龄组x至x+4岁的净迁入率。但在实践中，当分析人员不得不应用本方法时，保证本方法实施的充分可靠的年龄别的净迁移估计值往往很少见。

死亡登记的完整率随年龄出现的波动性很可能导致数据点之间出现曲线变化。本方法的优点之一是，如果相邻年龄组的数据点落在一条合理水平的直线上，那么可以合理假定在每个年龄上的完整率都相同。然而，当只有一些但不是全部数据点位于一条直线上时，分析人员可能需要限制用于确定完整率估计值的年龄范围。

更多的阅读材料

鉴于本方法是更一般意义上的假想世代消亡法的特例，建议读者们参考该方法的相关章节以了解更多内容。

参考文献

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Blacker J. 1988. An Evaluation of the Pakistan Demographic Survey. Karachi: Pakistan Federal Bureau of Statistics.

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Preston SH and KH Hill. 1980. "Estimating the completeness of death registration", Population Studies 34:394–366. doi: 
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Rashad HM. 1978. "The estimation of adult mortality from defective registration data." Unpublished PhD thesis, London: University of London.

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UN Population Division. 2011. World Population Prospects: The 2010 Revision, Volume I: Comprehensive Tables. New York: United Nations, Department of Economic and Social Affairs, ST/ESA/SER.A/313. 
http://esa.un.org/unpd/wpp/Documentation/pdf/WPP2010_Volume-I_Comprehensive-Tables.pdf

Vincent P. 1951. “La mortalite des vieillards”, Population 6:182–204. doi: 
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