结合儿童和成年人死亡率的间接估计来编制生命表

期望得到的数据：生命表

方法描述

本手册中介绍的用来估算儿童和成年人死亡率的间接方法，可产生对应于不同参照时间点的一系列儿童和成年人死亡率估计值。这些间接方法包含了菲尼(1980,1991)针对儿童提出的方法以及布拉斯和班姆保耶(1981)和布拉斯(1985)针对成年人提出的方法。然而，在许多人口学应用中，分析人员希望能推导出一个简略生命表来反映这一系列死亡率的间接估计值在某一特定日期上所有年龄范围的死亡率。这些应用包括人口预测，或者对不同时期的出生预期寿命或死亡率变化的评价。

表33.1简要概括了由最重要的死亡率间接估计方法得到的估计值的性质和范围。

表33.1 间接估计儿童和成年人死亡率的方法中的部分指标和对应的参考时间

由这些方法所产生的成年人死亡率的一个重要特征是，它们都是条件存活概率，即衡量从一个年龄(例如母亲孤儿法中的25岁)到另一个年龄(例如35岁)的存活概率。分析人员不能直接把计算成年人的条件存活概率转化成非条件存活概率。因此，在很多教科书的介绍性描述中所阐释的拟合罗吉特模型生命表的方法不能在实际中应用，而需要更加复杂的拟合方法。

为了把儿童和成年人死亡率的估计值合并从而生成一个可用于某一给定时点的单一生命表，需要有一种方法能够处理以下几个问题：

成年人死亡率需要从最初的条件存活概率转换成出生以来的存活概率。

儿童和成年人死亡率所暗示的死亡模式或死亡水平不同，或者死亡水平的变化趋势不同，也可能两者兼具。

一些数据点可能不准确或者受随机波动而扭曲了整体趋势，这就意味着得到的趋势可能需要平滑或调整。

一般来说，儿童和成年人死亡率所涉及的时点不同，并且有可能跨越不同的时期。

估计儿童死亡率的方法和估计成年人死亡率的方法都无法对某些年龄组的死亡率提供任何信息，这就意味着只能使用模型才能产生一个完全的生命表。

这里介绍的方法试图寻找可用于某一特定时期的一张罗吉特关联模型生命表(参见第31章《模型生命表概述》)中的参数α 和β值，从而最好地拟合所输入的观测数据点。只有在所讨论日期内的儿童和成年人死亡率分别被单独估算出来，才可能拟合一个双参数模型。如果这样的数据可以获得，那么就应该拟合双参数模型，因为事先没有理由来假定所考察人口的死亡年龄模式与任何一个单参数模型生命表类别的死亡年龄模式相对应。

基于儿童和成年人观测到的死亡率，这一方法首先推导并图示出隐含的α值(关联模型生命表的水平参数)和每个估计值的时间定位，并分别针对儿童和成年人死亡率假设β(形状参数)等于1。这个“阿尔法图”可用来识别有哪些数据点描述了α值随时间变动而呈现连贯一致的趋势。这些被选定的点通过迭代计算获得对所需生命表的特定时间下的α和β的最终估计值，然后再运用这些α和β值，参照标准生命表来拟合模型生命表。该方法允许拟合模型中的参数α和β同时随时间而变化，但这种变化必须是线性的(提马亚斯1990)。

基于分性别的儿童死亡率和成年人死亡率，这种方法可用来估算简略生命表。儿童死亡率可用间接方法对妇女的曾生子女数和存活子女数的分析求得，而成年人死亡率可通过单次普查孤儿法或间接兄弟姊妹法估算。通过直接方法或者应用两次普查的方法得到的儿童和成年人死亡率，通常对应于某一特定的年份或时期。可以根据第32章《用配对的儿童和成年人死亡率拟合模型生命表》中阐释的方法，对相同的日历时间中的成对成年人和儿童死亡率来拟合模型生命表。

数据要求和假定

所需数据列表

基于妇女曾生和存活子女数数据求得的一系列分性别的儿童死亡率的间接估计值及其对应的参照时间

运用间接方法分析兄弟姊妹存活数据，或者运用单次普查孤儿法，而得到的一系列分性别的成年人死亡率的估计值及其对应的参照时间

原则上，用于拟合这些数据的方法可以扩展到用于估计某类人口的生命表，这类人口中存在多组相互重叠的儿童和成年人死亡率的间接估计数据。然而，本章随附的工作簿表只能用来处理两个估计数据系列，一个针对儿童，一个针对成年人。

假定

本章所介绍方法中的拟合模型生命表都是以标准生命表为基础的。这一标准生命表被假定与被研究人口拥有类似的死亡率年龄模式。特别是在此标准生命表中，儿童和成年人死亡率的相对水平应该与拟合模型的间接估计值所显示的水平类似。第31章《模型生命表概述》中给出了选择合适标准生命表的准则，并描述了罗吉特关联模型生命表体系的基本原理。那些用来间接估算儿童死亡率的系数的标准生命表无需取自常用的模型生命表：那些能够最好地代表儿童死亡年龄模式的模型生命表类别可能并不是最能代表同一人口中儿童与成年人死亡之间的相对水平。

注意事项和提示

用拟合方法得到的拟合模型生命表的合理性取决于所选择的标准生命表是否适合于所研究人口。例如，在受艾滋传染的人口中，无论是儿童与成年人死亡率之间的相对性，还是死亡率的具体年龄模式，都与广泛使用的模型生命表体系的相关特征差异很大。因此，在这些情况下，常规上不推荐应用这种方法。对于没有一个标准生命表能揭示儿童和成年人死亡率之间相对性的人口，这种方法也不适用。

方法描述

此方法通过以下几个步骤实施。

步骤1：确定所需生命表所对应的参照时间

在α和β的测定中，为了避免在样本范围外进行外推的风险，生命表应该被拟合于成年人和儿童估计值所覆盖的分析期内的某一时点。在接下来对方法的介绍中，用D表示目标时点。

生命表所需的确切日期可由它的用途决定。然而，理想情况下，应该选择成年人和儿童死亡率都显得可靠的那个时点。例如，如果时间久远的儿童估计值因死亡儿童的漏报而偏低，或者近期的成年人死亡率因领养效应而偏低，分析人员就应该避免为含有数据缺陷的某一时间编制生命表。遗憾的是，有时这样的想法会让分析人员得出现有的数据不能为编制生命表提供坚实基础的结论！

如果一张生命表要用于一个比估计值所在的那个时期更近或更远的日期，可以考虑在日期范围之外进行有限度的外推。一方面，这个范围应该限于任何成年人或儿童死亡率估计值的最早的对应时间之前的三年；或者限于儿童或成年人死亡率最近估计值的对应时间(两者中更近期的一个时间)之后的三年。

步骤2：选择一个推导拟合生命表的标准生命表

本章随附的电子工作簿允许分析人员在九个分性别的标准生命表中进行选择， 包括五个联合国模型生命表(一般，南亚，远东，拉丁美洲，智利)和四个普林斯顿区域模型生命表(北部，南部，东部，西部)。所有选取的标准生命表中出生预期寿命均为60岁。这些罗吉特值的推导过程在第31章《模型生命表概述》中有所描述，包含这些值的电子表格可以从人口学估计方法的网站下载。

选择标准生命表的首要目标是找到一个儿童和成年人死亡率之间的关系与两者实际观测值之间的关系大致相同的标准表。一个实用的经验法则是，如果最终拟合模型的β值在0.75-1.25之外，就至少应该考虑使用另一个标准。在更极端的情况下，如果β值落在0.6-1.4之外，该模型生命表就不可能充分代表观测到的死亡率。选择标准的第二个目标是使这个标准具有所研究人口的其他已知特征，例如婴儿死亡率和1-4岁儿童死亡率之间的关系。第31章《模型生命表概述》对普林斯顿和联合国模型生命表的不同类别的特征作了简要说明。

步骤3：将从死亡率估计值推导出的α值(假定β = 1)与其对应时间作图

当β(关联模型生命表体系中的形状参数)等于1，关联模型生命表体系可以被表示为

\[Y(x)=\alpha+Y^{s}(x)\]

其中，Y(x)是罗吉特转换值，

\[Y(x)=\operatorname{logit}(l(x))=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-l(x)}{l(x)}\right)=-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-q(x)}{q(x)}\right)\]

对于儿童死亡率，可以直接从估计值中计算一系列α值。用推导的儿童死亡率估计值的罗吉特数值(q(1)、q(2)、q(3)、q(5)、q(10)、q(15))减去所选标准生命表中年龄为1、2、3、5、10和20的罗吉特值，

\[\alpha^{\mathrm{child}}=Y(x)-Y^{s}(x).\]

对于成年人来说，α值的计算更加复杂，因为用估计方法计算出的存活概率是以活到某个给定的基线年龄为条件的。α的公式为，

\[\alpha^{\mathrm{adult}}=\frac{1}{2}\left\{\ln(1-{}_{n}p_x)-\ln\left[{}_{n}p_x\exp\left(2Y^{s}(x+n)\right)-\exp\left(2Y^{s}(x)\right)\right]\right\},\]

其中，x为条件存活概率的基线年龄(对无母孤儿法来说是25岁)，n为根据受访者年龄组而定的测量存活概率的时间长度(该表达式的推导参见下文)。

(儿童和成年人分别的)α的估计值对应于同一坐标系中的各自的时间对应点，就是阿尔法图。

步骤4： 剔除阿尔法图中脱离总体趋势的数据点

为了估计某一特定时间点的α和β值，该方法对两个参数都设定了线性趋势。作为实现这一目标的步骤1，我们希望通过步骤3算出的对应其时间点的α的系列值(儿童和成年人各自的值)呈直线分布。

在用上述两个公式得到的儿童或成年人死亡率估计值中，α的单个数据值有可能偏离直线，这有几个原因。首先，死亡率变化的基本模式可能呈现出强烈的非线性趋势。但考虑到估计值序列所覆盖的时间相当短并且间接估计方法往往能够平滑死亡率的短期波动，非线性趋势的出现就有点不太可能。即使上面推导出的诊断图表明是这种情况，仍然可能通过计算特定时点上的值获得一个比较正确的拟合模型生命表(在这一时点上，方法中所设定的参数的线性趋势与图形中的点形成的曲线相交)。第二，序列估计值可能由于抽样误差和诸如年龄误报一类的误差而出现错误。如果这是这些估计值的唯一不足，分析人员通常可将它们全部包括在分析中，并通过线性拟合程序来平均这些波动。

第三，间接估计的死亡率很容易由于受访者没能准确地回答关键问题或者违反有关方法的假定而产生偏差。死亡率估计值的可能误差已经在有关介绍各种方法的内容中作过讨论，读者可以参考为诊断迹象提出建议的部分。根据这些建议，可以识别有偏差的某些点，并将其从拟合程序中剔除。然而，以下情况特别常见，即在儿童死亡率方法中，与年龄15到19岁的受访者相关的值上偏；而在普查孤儿法中，与年龄5到14岁儿童申报其父母存活状况相关的值下偏。从拟合模型程序中剔除这些数据值通常是有必要的。

对于计算出的α值没能呈现出直线形式的第四种可能解释是，计算原始估计值所选择的标准生命表可能不适当。如果是这个原因，就有必要用一个不同的标准来重新计算这些估计值，或者就有必要尝试使用其他的标准(如步骤2中所描述的)来得到拟合的生命表。

一旦在拟合过程中的儿童和成年人的α值被选定，拟合模型的剩余部分就可按固定程序进行。

步骤5：通过迭代计算来确定β的趋势

迭代求解β的过程不适合手工计算，但可以使用设计好的相关工作簿来运算。为了使迭代运算过程常规化，必须确保微软Excel已被恰当地设定。选择“文件 → 选项 → 公式”，然后选中“激活迭代计算”复选框。设置最大的1000次迭代和0.00001的最大变化就足以解决问题。

重复调整β和α以确保较好的拟合效果，其过程在本方法的数理阐述部分有所介绍。拟合过程中关键的约束条件如下：

无论考察日期内的儿童和成年人的q(x)和npb 估计值中的x 和n 的原始值是多少，β值都是从相对于标准生命表中的15到60岁的存活概率中算出。

α和β都可以随时间变化，但是要假定这些变化都是线性的。

总之，这些假设减少了因估计值出错以及考察人口与标准生命表之间死亡率年龄模式的细微差别而对拟合模型生命表造成的失真(提马亚斯 1990)。相反，如果用其他章节中描述的方法对近期同一时点但只针对有限年龄区间上的成对儿童和成年人死亡率的间接估计值拟合一个双参数罗吉特模型生命表 (布拉斯 1975, 1985)，比如q(2) 和10p25，那么分析人员常常会得到一些极端的β值从而产生不合理的拟合生命表。

步骤6：检验α的拟合值

倒数步骤2是检验由迭代拟合程序得到的阿尔法图。此图是随附工作簿alpha plots工作表中的第二张图。这张图代表了根据β的水平和趋势而作出调整的α估计值，用来检验α是否遵循线性趋势的假定。此外，如果拟合数据的标准是合适的，那么在此图中，儿童和成年人死亡率各自的估计值序列应该彼此接近。

步骤7：产生拟合生命表

一旦α和β的最佳拟合线性时间趋势被迭代拟合程序所确定，拟合模型表的特定日期D下的α和β的拟合值可以按下式计算，

\[\begin{aligned}\alpha^{*}&=Z(\alpha)+D\cdot S(\alpha)\\\beta^{*}&=Z(\beta)+D\cdot S(\beta).\end{aligned}\]

简略的拟合生命表可由α* 、β*值和标准生命表通过下式得出，

\[l^{*}(x)=\frac{1}{1+\exp\left(2\left(\alpha^{*}+\beta^{*}Y^{s}(x)\right)\right)}\]

示例

本示例使用多米尼加共和国的女性人口数据。对女孩的间接估计值是根据2002年一次人口和健康调查所获得的曾生子女数与现有子女数得出的。对成年女性的间接估计值则是由同年进行的人口普查中申报的有关母亲存活状况的数据得到的。表33.2列出了这些数据。

表33.2 合并儿童和成年人死亡率估计值的输入数据，多米尼加共和国

步骤1：确定所需生命表所对应的时间

在本例的多米尼加共和国数据中，相关电子表格允许推导的生命表的时间，始于1987.99-3和1990.51-3两者中较早的一个时点，终于2001.71+3和1999.23+3两者中较早的一个时点；也就是说，日期在1984.99和2002.23之间。

在这个例子中，我们得到一张多米尼加共和国1997年年中(1997.5)的生命表。

步骤2：选择一个推导拟合生命表的标准生命表

如果考虑到数据的地域性，那么(至少在最初)假定多米尼加共和国妇女的死亡率会遵循联合国拉丁美洲女性标准模型是合理的。表33.3显示了所选标准生命表的罗吉特值。

表33.3 预期寿命60年时的联合国拉丁美洲女性生命表的罗吉特值

注意，如果在随附工作簿中将生命表类别从“联合国”改成“普林斯顿”或相反，就必须让工作簿重新计算结果，即在“重新计算”单元格中 (即Method电子表格中的单元格B3)，将“正确”改成“错误”再返回“正确”。不这样做将出错。

步骤3：将从死亡率估计值推导出的α值(假定β= 1)与其对应时间作图

使用表33.2中的多米尼加共和国数据，并以联合国拉丁美洲生命表为标准，当x = 3时儿童死亡率的α值推导如下,

\[\begin{aligned}\alpha^{\mathrm{child}}&=-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-q(3)}{q(3)}\right)-\operatorname{logit}\left(l^{s}(3)\right)\\&=-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-0.0355}{0.0355}\right)+1.0398\\&=-0.6112.\end{aligned}\]

如表33.1所示，这个α值的对应时间点为1998.48。从其他儿童死亡率求得α值及其对应时间的估计，推导过程是类似的。

使用表33.2成年人死亡率数据以及同一标准，当n =25时，成年人的α估计值计算如下,

\[\begin{aligned}\alpha^{\mathrm{adult}}&=\frac{1}{2}\left\{\ln(1-{}_{25}p_{25})-\ln\left[{}_{25}p_{25}\exp\left(2Y^{s}(50)\right)-\exp\left(2Y^{s}(25)\right)\right]\right\}\\&=\frac{1}{2}\left\{\ln(1-0.9479)-\ln\left[0.9479\exp\left(2(-0.5248)\right)-\exp\left(2(-0.8313)\right)\right]\right\}\\&=-0.5021.\end{aligned}\]

这个α值的对应时间为1993.43。由其他成年人死亡率求得α值及其对应时间的估计，推导过程是类似的。

表33.4总结了这些α估计值及其对应的时间。

表33.4 α的估计值及其对应时间，多米尼加共和国，2002年

当将基于儿童和成年人数据估算的所有的α值与对应时间作图时，便得到阿尔法图，如图33.1所示。

图33.1儿童和成年人的α值及其对应时间的初步阿尔法图，多米尼加共和国

步骤4：剔除阿尔法图中脱离总体趋势的数据点

第16章《儿童死亡率的间接估计》解释了为什么基于15-19岁女性申报数据间接估计的最近的儿童死亡率往往偏高的原因。这主要是因为青少年妈妈往往来自社会弱势群体，再加上其他原因，导致她们的死亡率较高。该年龄段数据点在使用间接估计值推断儿童死亡率的趋势时几乎总是被剔除，本例也是这样。

基于5-9岁儿童申报的母亲存活状况用单次普查孤儿法求得的最近的成年人死亡率在许多应用中也被低估了。然而，在多米尼加共和国，考虑到成年女性中其他死亡指标的趋势，这一死亡率估计远远高于预期。这可能是与孩子中严重的年龄低报有关，或者表明估算中使用的标准模型与这一人口不符合。无论何种原因，都应该忽略这种异常的估计。因此，通过清空随附工作簿的阿尔法图中的相应单元格，每个系列的最近估计值都从α的拟合趋势线中被剔除了。

从孤儿法中得到的其余估计值具有内部一致性，这表明在20世纪90年代多米尼加共和国成年女性的死亡率下降较快。儿童死亡率的估计值也显示死亡率在下降，但是近期的估计值却有些不一致。由25-34岁母亲申报数据估算的第三个和第四个数据点显示，在20世纪90年代的后半期儿童死亡率的下降速度在加快。然而基于20-24岁女性申报数据估算的第二个数据点则表明，儿童死亡率的下降速度在减缓。因为没有证据证明该数据存在错误，所以所有这三个数据点都从分析中被剔除了。

图33.2显示了生成阿尔法图的最终选择的数据点。这张图强调了成年人从第二到第七数据点之间的一致性，而且还显示，拟合的儿童第二到第七数据点的回归线不仅通过了近期估计值的中间部分，而且也较好地拟合了三个较早期的点。

图33.2 儿童和成年人的α值和对应时间的最终阿尔法图，多米尼加共和国

注意，在图33.2中，从成年人死亡率估计得出的α值低于从儿童死亡率估计得到的α值，且随着时间推移两者愈加偏离。这意味着，相对于联合国的拉丁美洲标准，20世纪90年代多米尼加共和国的成年人死亡率较低，而且其下降速度比儿童死亡率的下降速度更快。因此，该人口的拟合模型生命表中的β参数将低于1，且将随着时间的推移不断降低。

步骤5：通过迭代计算来确定β的趋势

运用电子工作表可迭代计算得到所对应时间(1997.5)的α和β的拟合值。 α* 和β*的估计值分别为-0.658和0.849。这些估计值意味着多米尼加共和国的死亡率水平比联合国拉丁美洲标准略低(α < 0)。同时，相比于这一标准，低年龄人口的死亡率略高而高年龄人口的死亡率略低 (β < 1)。β*的估计值非常接近1，因而无需质疑步骤2中的标准选择。

步骤6：检验α的拟合值

倒数步骤2是检验由迭代拟合程序得到的阿尔法图。此图为本章随附工作簿的阿尔法图中的第二张。

图33.3 迭代拟合β之后的阿尔法图，多米尼加共和国

图33.3显示，儿童和成年人的α值在20世纪90年代的大部分时间里非常相似。尽管β值从20世纪90年代早期的0.95下降到了1997年年中的0.85，但各个年龄段的死亡率都在下降。这是符合预期的，因为我们已经观测到，与基于联合国拉丁美洲类别的标准罗吉特模型生命表相比，多米尼加共和国的成年人死亡率在这个时期迅速下降。

在1997年，成年人和儿童的两条线仍然彼此相当接近，这反映出那时的β值(即0.85)仍然相当接近于它的中心值1。如果此时的β值和1相差很多，1997年的两个α估计值必将差别很大。如果确实如此，那么就应该寻找一个更适合所研究人口的标准生命表。

如果两个系列的估计值显示了非常不同的趋势且未能相互交叉，或者交叉后又迅速分离，或者一个甚至两个系列都存在高度非线性，这将再次表明所使用的标准是不合适的，或者更有可能的是，这一个或两个系列由于数据错误而产生的偏差严重以至于不可能彼此协调。

步骤7：产生拟合生命表

基于所选日期下拟合的α* 值(-0.658)、β*值(0.849)及标准生命表(参见图33.3)，可通过下式来估算简略的拟合生命表，

\[l^{*}(x)=\frac{1}{1+\exp\left(2\left(\alpha^{*}+\beta^{*}Y^{s}(x)\right)\right)}\]

最终的拟合生命表如表33.5所示。出生预期寿命为76.6岁，而联合国同一五年期的估计值是73.1岁 (联合国人口司2013)。

表33.5 女性拟合生命表，多米尼加共和国，1997年年中

方法的详细描述

本章随附的工作簿遵循上述步骤示例了这一方法。本节将详细描述如何使用迭代计算得到最终的α和β值。

拟合过程的基本前提是所得到的生命表应该能很好地拟合15岁和60岁时的观测数据。前一个约束可以确保所拟合模型和观测的儿童和青少年死亡率能较好地匹配；两个约束结合在一起则确保了所拟合模型在扩展年龄范围内(15-60岁)的成年人死亡率能够接近那些拟合生命表的成年人死亡率的估计值。

拟合过程

选择了将被用来拟合的数据点后(参见步骤4)，这一方法旨在基于儿童α值，并以β值的趋势为约束条件，找到时间趋势的最佳拟合线性回归模型，还旨在基于成年人β值，并以儿童α值的趋势为约束条件，找到时间趋势的最佳拟合线性回归模型。

假设β = 1，使用示例步骤3中的方程可以计算出与每个儿童死亡率估计值相对应的αchild。因为每个αchild的估计值都与对应的时间(T)相关联，这样就可以将拟合过程中的估计值对时间作回归，以得到线性回归模型的斜率S(α)和截距Z(α)。

拟合回归模型接下来可以用来预测成年人死亡率估计值的对应时间上α的拟合值 ，(α*)，

α*=Z(α)+T⋅ S(α) 。

利用这些αchild拟合值，就可以估算这些日期上的Y(15)

\[Y(15)=\alpha^{*}+\beta^{*}Y^{s}(15)\]

其中，在首次迭代运算时，β* = 1。

仍然假设β= 1，也可以根据成年人条件存活概率的估计值来估计αadult，这些条件估计值已经包括在示例步骤3的方程的拟合过程中。而利用这些αadult值，就可以计算相应的45q15估计值。用基于儿童数据估计得到的l(15)乘以同一时间的基于成年人数据的估算的45p15值，就得到l(60)非条件存活概率，进而得出Y(60)，

\[Y(60)=-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{l(60)}{1-l(60)}\right)=-\frac{1}{2}\ln\left(\frac{l(15)\cdot{}_{45}p_{15}}{1-l(15)\cdot{}_{45}p_{15}}\right)\]

通过Y(15)，计算得到l(15)的估计值，

\[l(15)=\frac{1}{1+\exp\left(2Y(15)\right)},\]

而根据成年人估计值拟合的α和β值，便得到45p15，

\[{}_{45}p_{15}=\frac{l(60)}{l(15)}=\frac{1+\exp\left(2\left(\alpha^{\mathrm{adult}}+\beta^{*}Y^{s}(15)\right)\right)}{1+\exp\left(2\left(\alpha^{\mathrm{adult}}+\beta^{*}Y^{s}(60)\right)\right)},\]

其中，Y s(x)表示标准生命表(即β= 1和α= 0)中l(x)的罗吉特值。同时，在首次迭代运算时，β* = 1。

在得到成年人死亡率估计所指的不同日期上的一系列Y(60)估计值后，就可以计算出这些日期的β的修正值，

\[\beta=\frac{Y(60)-Y(15)}{Y^{s}(60)-Y^{s}(15)}.\]

由于每个修正的β值都涉及一个特定日期，所以可以通过与对应时间(T)作回归，以计算线性回归中的斜率S(β)和截距 Z(β)，进而无论是儿童还是成年人，都可以根据对应时间(T)针对每个数据点预测一个拟合的β 值( β* ) ，β*的公式如下，

\[\beta^{*}=Z(\beta)+T\cdot S(\beta)\]

至此，第一个迭代运算周期已经完成。现在可以计算在β不等于1时的修正的αchild估计值，公式如下，

\[\alpha^{\mathrm{child}}=\operatorname{logit}(q_x)-\beta^{*}\cdot Y^{s}(x)\]

然后，将修正的αchild估计值与对应时间作回归，并结合在成年人死亡率所指日期上的β来计算修正的Y(15)估计值、45q15和Y(60)，进而第二轮重新计算β本身的修正估计值。运用这一迭代机制，α和β互相调整，从而得到对应时间上的α和β的最佳拟合回归方程。

计算成年人α值的公式推导如下，

\[\begin{aligned}{}_{n}p_x&=\frac{l(x+n)}{l(x)}=\left[\frac{1+e^{2\left(\alpha+\beta Y^{s}(x)\right)}}{1+e^{2\left(\alpha+\beta Y^{s}(x+n)\right)}}\right]\\{}_{n}p_x+{}_{n}p_x e^{2\left(\alpha+\beta Y^{s}(x+n)\right)}&=1+e^{2\left(\alpha+\beta Y^{s}(x)\right)}\\e^{2\alpha}\left({}_{n}p_x e^{2\beta Y^{s}(x+n)}-e^{2\beta Y^{s}(x)}\right)&=1-{}_{n}p_x\\e^{2\alpha}&=\frac{1-{}_{n}p_x}{{}_{n}p_x e^{2\beta Y^{s}(x+n)}-e^{2\beta Y^{s}(x)}}\\\alpha&=\frac{1}{2}\ln\left(\frac{1-{}_{n}p_x}{{}_{n}p_x e^{2\beta Y^{s}(x+n)}-e^{2\beta Y^{s}(x)}}\right)\\\alpha&=\frac{1}{2}\left\{\ln(1-{}_{n}p_x)-\ln\left({}_{n}p_x e^{2\beta Y^{s}(x+n)}-e^{2\beta Y^{s}(x)}\right)\right\}.\end{aligned}\]

参考文献

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