由队列子女递增数据估算生育率

可用数据：多次普查数据

期望得到的数据：生育率

方法：冈珀茨关联模型

方法描述

单次普查或调查中分五岁组妇女的曾生孩子数数据包含了大量有关妇女生育经历的信息。然而遗憾的是，如果生育率发生了变化，则不可能用妇女在不同年龄组的平均子女数来估算队列或时期生育率的年龄模式。

如果间隔五年或十年的两次普查或调查中的曾生子女数数据是可用的，那么某一特定队列妇女的曾生子女数的平均值的变化就反映了普查或调查间隔期生育率的变化。这样的话，就有可能估算这段时期的年龄别生育率。艾瑞特克斯(1973)针对这种间隔十年的调查信息提出了一种分析方法。《手册十》(联合国人口司1983年)介绍了一种由科尔和特拉赛尔提出的基于P/ F比率法的方法。这里将介绍一种基于冈珀茨关联模型的改进方法。

本方法通过估算一个调查间隔期内的假想队列的平均子女数，来估算调查间隔期的平均年龄别生育率。随后通过对这些平均子女数进行内插得到一个累计生育模式，再通过对相邻组的累计生育相减得到年龄别生育率。

本方法适用于以下情况，即可以估计间隔大约五年或十年的两个时间点上的各年龄组妇女的平均子女数。如果调查间隔期为五年，任何一个五岁组中的妇女在第二次调查时代表了在第一次调查时上一个五岁组的幸存者。如果假定在调查间隔期死亡或者迁移的妇女的终身生育率平均来说与其它妇女没有系统性的不同，那么第一次调查和第二次调查之间的队列的平均子女数的差就反映了两次调查间隔期妇女的生育经历。通过累计增加的子女数，就能够估算出一个假想队列若按两次调查间隔期的年龄别生育率生育而得到的一生生育的平均子女数。如果调查间隔期为十年，那么一个五岁组中的妇女在第二次调查时代表了那些在第一次调查时年轻两个五岁组的幸存者。在这种情况下，仍然可以计算出每个队列增加的子女数，以建构一个假想队列的平均子女数。本方法可以应用于普查数据或完全或部分的全国性抽样调查数据，这是因为每次调查中包括在队列中的个人虽然不会都相同，但是其平均子女数却可以代表被抽样的女性人口。

两组数据不一定正好对应于间隔五年或十年的两个时间点。比如说，除非生育率变化非常迅速，对四年间隔期或十一年间隔期也可以进行合理的估算。在这样的情况下，分析人员不需要从一个调查到另一个调查来跟踪队列，这是因为一个年龄组的平均子女数从某一年到下一年不会迅速改变，因而这么做就变得不重要了。

虽然本方法的优势在于生育率的变化对计算结果的影响不大，但这里描述的步骤也可以通过单次普查或调查中的子女数数据来估算年龄别生育率，只要在这些普查和调查中所研究妇女的生育率在其育龄期内没有发生改变。

假定

大部分假定是那些与冈珀茨关联模型有关的假定：

• 选择用于拟合程序的标准年龄别生育率适当地反映了该人口的生育分布的形状。
• 任何生育率变化都是平滑和渐进的，并且以大致相同的方式影响所有年龄组。
• 二十几岁的年轻妇女所申报的子女数是准确的。

准备工作和初步检查

使用本方法分析生育水平之前，应该至少就以下方面检查数据质量：

• 人口的年龄和性别结构；
• 平均子女数以及是否需要使用巴德里校正法予以校正。

注意事项和提示

在使用曾生子女数信息来估算生育率时应注意以下情况，即使在数据质量比较好的国家，也存在老年妇女对可能已经死亡或者离家的子女的漏报问题。其结果是，平均子女数往往不能以一个合理的速度增加，或者甚至在35或40岁之后下降。基于有漏报的子女数所计算的年龄别生育率将导致对较大年龄妇女的生育率的低估。如果这类错误较小，其影响可能不太明显。因此，基于较大年龄妇女的平均子女数估算的生育率必须要谨慎解释，尤其当它们低于年轻妇女的生育率时。另外，一个假想队列的平均子女数对两次调查间申报的子女数变化是非常敏感的，因而对这种子女数的计算也是一种对原始数据一致性的有用检查。

只要有额外所需的近期生育率数据，本章介绍的方法就不如第10章中介绍的基于比较调查间隔期累计生育率与假想队列的平均子女数的假想冈珀茨关联模型方法来得好。这是因为那种方法对于年纪较大妇女申报的曾生子女数的漏报较不敏感。

方法的应用

步骤 1和步骤 2简单地重复了第10章中的假想冈珀茨关联法的前两步。

步骤 1：计算每次调查申报的平均子女数

如果在初步检查中或者在使用巴德里校正法过程中尚未计算出两次调查(t₁和t₂)中，各个年龄组[x,x + 5)岁妇女的平均子女数，$$_5P_x(t_1)$$和$$_5P_x(t_2)$$，其中x =15, 20 … 45， 则首先需要对它们进行估算。为了便于说明，我们将年龄组i在时间t的平均子女表示为$$P(i,t)=_5P_x(t)$$， 其中i=(x /5 - 2)。这样的话，P(i,1)就表示第一次普查或调查获得年龄组i的平均子女数，而P(i,2)就表示为第二次调查所得的年龄组i的平均子女数。

步骤 2：计算假想队列的平均子女数

计算子女数的方法取决于调查间隔期的长度。

a) 间隔期为五年

如果这两个数据间隔五年，第一次调查时年龄组 \(i\) 的所有幸存者第二次调查时将在年龄组 \(i+1\)，并且相应队列在间隔期的子女增加数为 \(P(i+1,2)-P(i,1)\)。这个增加数可以对每个年龄组计算，而通过依次累计就得到假想队列的子女数。因此，如果第一次调查时年龄组 \(i\) 的队列的子女增加数为 \(\Delta P(i+1)\)，并且假想队列的年龄组 \(i\) 的子女数为 \(P(i,s)\)（其中 \(s\) 代表假想队列），则

\[ \Delta P(i+1)=P(i+1,2)-P(i,1) \]

其中，\(i=1,\ldots,6\)。因此，

\[ P(i,s)=\sum_{j=1}^{i}\Delta P(j) \]

最年轻年龄组 \(i=0\) 的子女增加数 \(\Delta P(i+1)\) 被视为等于 \(P(1,2)\)，也就是假定 \(P(0,1)\) 等于零，即第一次调查时年龄为 10-14 岁的女性的平均子女数为零。如果生育率变化很快，那么 \(\Delta P(1)\) 的值所反映的时期生育率将更接近第二次调查时点而不是间隔期中点的时期生育率，从而会稍微高估生育率的变化。

b) 间隔期为十年

如果普查或调查的间隔期为十年，那么第一次调查时年龄组 \(i\) 的所有幸存者第二次调查时将在年龄组 \(i+2\)。假想队列的子女数则可以通过累计两个平行序列的子女增加数而获得。 再次说明，对于最年轻的年龄组，\(\Delta P(1)\) 被视为等于 \(P(1,2)\)，而 \(\Delta P(2)\) 等于 \(P(2,2)\)。 其他年龄组的子女增加数可计算为

\[ \Delta P(i+2)=P(i+2,2)-P(i,1) \]

其中，\(i=1,\ldots,5\)。

偶数年龄组的假想队列的子女数是通过将偶数年龄组的子女增加数累计而获得，而那些奇数年龄组的假想队列的子女数则是通过将奇数年龄组的子女增加数加总而获得。因此，

\[ \begin{aligned} P(1,s) &= \Delta P(1) = P(1,2) \\ P(2,s) &= \Delta P(2) = P(2,2) \\ P(3,s) &= \Delta P(1) + \Delta P(3) \\ P(4,s) &= \Delta P(2) + \Delta P(4) \\ P(5,s) &= \Delta P(1) + \Delta P(3) + \Delta P(5) \\ P(6,s) &= \Delta P(2) + \Delta P(4) + \Delta P(6) \\ P(7,s) &= \Delta P(1) + \Delta P(3) + \Delta P(5) + \Delta P(7) \end{aligned} \]

下面的步骤重复那些使用冈珀茨关联模型的步骤，但是只对子女数数据拟合直线。

步骤 3：拟合冈珀茨关联模型

如果子女数数据是内部一致的，那么 \(z(i)-e(i)\) 对 \(g(i)\) 的作图应该产生直线。 那些导致图形从直线偏离的 \(P\) 点应被从模型中剔除。使用普通线性回归（最小二乘法）为 \(P\) 点拟合直线， 并按顺序地识别那些没有整齐地拟合在直线上的点，这么做的目的在于寻求（几乎）落在同一条直线上的 \(P\) 点的最大组合， 并用这些数据点去拟合模型。

剔除和保留数据点的原则如下：

• 数据点的连续系列必须被包括在模型中，也就是说，只能剔除位于末端的数据点。 这是因为图形中每个点都是基于一对相邻的数据值的比率而计算的。 如果分析得出的结论认为某数据值作为这些比率之一的分母不可靠， 那么将其作为下一个比率的分子也不合理。
• 较大年龄上的 \(P\) 点的剔除应该优先于那些较小年龄上的 \(P\) 点， 这是因为较大年龄段的数据通常最不可靠，并且终身生育率和近期生育率之间的一致性最差。
• 包括更多数据点而拟合程度只有小幅下降，这要好于选择更少数据点但拟合程度略有提升的情况。

步骤 4：评估拟合参数

对于拟合所选择的P点而获得的最佳拟合线，必须检查α和β的值以确认它们没有过分偏离中心值。若非如此，则所选择的标准是不合适的。一个好的拟合直线要求-0.3<α<0.3，且0.8<β<1.25。

如果参数在该范围之外，这意味着所使用的一套或两套数据是有问题的，或者所选择的生育标准模式不合适。在进一步分析数据之前，应使用另一种生育标准模式或者改变数据点的选择进行测试。如果参数仍在范围之外，就不应该使用本方法。

步骤 5：拟合年龄别生育率和总和生育率

对模型的两个参数进行估算后，将其代入基于子女数的标准生育模式就可获得拟合的基于子女数的冈比特值，$$Y(i)=\alpha+\beta Y^s(i)$$。然后通过反冈比特值转换，将其转换为年龄组i的生育率累计比例的指标。这些基于子女数分布的反冈比特值反映该年龄组达到的生育比例。将观察到的各年龄组的子女数除以这些比例就得出了一系列的总和生育率的估算值。而将用于估计α和β的那些年龄组中的估计值取平均值，就得到总和生育率的拟合估计值$$\hat{T}$$。

对于划分年龄组的常规年龄(即20，25... 50)，将相同的α和β应用到标准模式的冈比特值上，使用反冈比特值变换并乘以$$\hat{T}$$，就得到标准刻度下的累计生育模式。将相邻两个累计生育率的连相减并除以5就能得到常规年龄组(15-19岁;20-24岁等)的拟合生育率。这些年龄别生育率对应于两次调查间隔期的中点。

示例

与假想冈珀茨关联模型的示例相同，本示例使用了肯尼亚1989年和1999年的两次普查数据。然而，在本示例中，假定唯一可用的信息是平均子女数数据，并且没有搜集任何近期生育率数据。冈珀茨关联模型拟合到子女数数据的过程实质上类似于基本的冈珀茨关联模型，因此这里集中讨论两个过程的差异。本方法的应用见随附的Excel工作簿。

步骤 1：计算每次调查申报的平均子女数

1989年人口普查数据已运用巴德里校正法进行了校正。相比之下，1999年的普查数据没有缺失数据，很明显已在发布前被编辑过。两次普查的平均子女数示于表10.1的前两列。根据这些数据可以看出，年龄较大的妇女的终身生育率在这十年中大约下降了0.6个孩子。然而，年轻妇女的终身生育率的增加多少有些令人吃惊。

步骤 2：计算假想队列的平均子女数

           两次普查的间隔期为十年(从1989年至1999年)。因此，我们使用步骤 2(b)中描述的程序推导出假想队列的平均子女数，见表11.1的最后一列。

表11.1 分年龄组的平均子女数，肯尼亚 1989 年和 1999 年普查

如上述步骤 2所述，$$\Delta P(1)=P(1,2)=0.2848$$，并且$$\Delta P(2)=P(2,2)=1.3640$$，同时$$P(5,s)=\Delta P(1)+\Delta P(3)+\Delta P(5)=0.2848+(2.6073-0.2416)+(5.3867-3.2138)=4.8234$$。显而易见的是，较高年龄组中的子女数存在严重漏报，因为最大年龄组的假想队列的平均子女数比40-44岁年龄组低。

本方法没有考虑母亲的年龄分类。根据定义，平均子女数是指在调查或普查的日期时母亲的平均子女数。

步骤 3：拟合冈珀茨模型

表11.1最后一列中的假想队列的数据被用来通过冈珀茨关联模型估算生育率。基于平均子女数(P-点)的数据点被依次剔除，直到数据点与来自标准生育模式的子女数(转换值)呈线性关系为止。拟合的数据点示于图11.1。

图11.1假想队列拟合的P-点，肯尼亚1989 年和 1999 年普查数据

45-49岁年龄组的假想子女数低于40-44岁年龄组(5.4987对比5.6041)，这意味着这对数据点的比率的冈比特值是不确定的，所以只有五个数据点的平均子女数被用来作图。对这些数据点的检查说明，用于生成图中最后一个数据点的年龄组存在明显生育率低报。剔除该点很大幅度地降低了均方根误差，因此该模型最终用剩余四个数据点来拟合。

步骤 4：评估拟合的参数

α和β隐含的值是-0.0084和1.0071，这暗示生育模式相当接近修改后的扎巴标准。

步骤 5：拟合年龄别生育率和总和生育率

将这些参数代入到含标准模式下的子女数冈比特值的线性关联模型中，$$Y(i)=\alpha+\beta Y^s(i)$$，并将其估计值求反冈比特值(表11.2第4列)再除以用拟合模型中各年龄段所观察到的子女数，就可得到总和生育率的五个系列估算值(范围为每名妇女5.4至5.7个子女)。对这些值取平均值就得到总和生育率($$\hat{T}$$)为每名妇女5.53个子女。

表11. 2  推导总和生育率($$\hat{T}$$),肯尼亚 1989 年和 1999 年普查数据

表11.3  最终的调整后的生育率推导, 肯尼亚, 1989年和1999年普查

总和生育率的估算结果为每名妇女5.53个儿童，对应两次普查间隔期的中点。在本示例中，由假想队列子女数估算的年龄别生育率，可以与假想冈珀茨关联模型的结果进行比较(TFR=每名妇女5.56个子女)。两组结果的相似性令人满意。

但必须记住的是，如果母亲申报的曾生子女存在漏报，那么估算结果将严重失真。若两次调查的漏报率不同，则失真会更严重。

方法详述

此处所描述的方法是冈珀茨关联模型的一个变化形式。它不是基于一个时间点上搜集的子女数数据和生育数据，而是基于两个时间点上申报的终身生育率，获得一个“平均”的生育模式，并依此来决定生育模式。本手册其他相关相关章节对冈珀茨关联模型的数学原理进行了详细介绍。

该方法的变化形式

工作表中的一个选项允许普查间隔期被设置为零。这意味着可以仅仅依靠单独一组子女数数据来推导总和生育率。为了在这个过程中得到合理的估算值，要求平均子女数没有差错，而且要求在调查前的一段较长时期内生育率保持不变。

更多的阅读材料

本方法的基本原理由艾瑞特克斯(1973)提出并被纳入《手册十》(联合国人口司1983年)。在《手册十》介绍本方法时，使用P/F比率法把子女增加数转换为生育率；而在这里，本方法使用了更为通用的冈珀茨关联法。

参考文献

Arretx C. 1973. "Fertility estimates derived from information on children ever born using data from censuses," in International Population Conference, Liège 1973. Vol. 2. Liège: International Union for the Scientific Study of Population, pp. 247-261.

UN Population Division. 1983. Manual X: Indirect Techniques for Demographic Estimation. New York: United Nations, Department of Economic and Social Affairs, ST/ESA/SER.A/81. https://www.un.org/development/desa/pd/sites/www.un.org.development.desa.pd/files/files/documents/2020/Jan/un_1983_manual_x_-_indirect_techniques_for_demographic_estimation.pdf