孩次递进比
可用数据：单次普查法
期望得到的数据：生育率
方法：直接方法
简介
提到生儿育女，妇女或父母通常会想到组建家庭，或者为家庭增加另一个孩子。本章着重分析生育的递进性，关注不同孩次的母亲比例，以及她们生育下一个子女的比例。
出生孩次的信息很容易从两个普查基本问项中得到，即调查妇女的曾生子女数以及在过去一年中的生育数。基于第一个问题，研究者可以将过去一年的生育数按孩次加以区分。通过使用孩次递进比和它们的预测数来检验分孩次的生育数，可以提供有关生育趋势的额外信息，并且可以评估孩次别生育率的变化。
本章节介绍了针对那些退出育龄期的妇女计算的孩次数分布和孩次递进比的方法，以及如何推导预测的孩次递进比，来估算年轻妇女在将来生育期结束时的最终孩次分布。
孩次递进比(尽管有一些不同名称)在人口学文献中有很充分的描述(参见，例如，普雷斯顿、休维莱和吉洛特，2001)。而布拉斯(1985年)提出的计算预测的孩次递进比的想法鲜有人知。虽然传统的孩次递进比方法作为整个过程的一部分也会被提到，这里着重介绍后者。
孩次递进比(parity progression ratio，PPR)[译者注：其字面含义为胎次递进比，但其实义是指孩次递进比] 是指生育过某一孩次的妇女中递进至生育下一个孩次妇女的比例。孩次递进比可以按年龄来统计，也可按婚态进行统计；但通常按妇女的年龄队列进行统计，即孩次递进比要通过某一特定年龄组妇女的孩次数分布来计算。对于生育期已经结束的妇女队列来说，假定不同孩次妇女的死亡率没有差别，那么孩次递进比是不变的。然而，对于仍处于生育期的妇女队列而言，因越来越多的妇女转向更高的孩次，孩次递进比会变化。因此，从年轻妇女队列得到的孩次递进比存在截尾和选择效应两个方面的问题，这是因为那些在生育期结束之前倾向于快速生育更多孩子的妇女在不同年龄-孩次组合中的比例会出现异常。这意味着，比较年轻和年老妇女队列的孩次递进比将存在误导性。
布拉斯(1985)描述了如何基于年轻妇女数据来预测妇女生育末期的孩次递进比的方法。通过孩次来分解生育率的优势在于，不同的孩次递进比可能与不同因素相关，特定孩次递进比的改变可能为理解人口中正在进行的生育变化过程提供线索。因此，例如，孩次别生育率的局限性(或者不存在局限性)将很容易通过孩次递进比测量出来。相比一些更常见的生育率指标，孩次递进比较少受到错误数据(如参照期错误)的影响。在构建预测的孩次递进比时，第一孩比例还可以用来检验数据质量以及分析生育率的变化。
对于生育期结束的队列而言，计算孩次递进比是非常直接了当的。比较连续队列的孩次递进比即可揭示生育率趋势，尽管在多个普查之间比较同一出生队列的孩次递进比能够得出更可靠的结论。对于那些提供近期生育率趋势的年轻妇女则需要更详尽的分析。这些率可以用来预测年轻妇女的年龄孩次别生育率(AOSFRs)在度过生育期后可能实现的孩次分布。这一孩次分布是用来计算预测的孩次递进比的，这个预测的孩次递进比与当前的年龄孩次别生育率结合可以来推断隐含在直至当前时点的妇女生育史中的生育率变化。使用预测的孩次递进比的一个优点是，因为这个指标是一个比率，当年龄孩次别生育率被用于预测孩次递进比时，除了从未育到第一次生育之间的递进比外，因漏报而导致的其他孩次递进比上的误差将相互抵消。
这里介绍两个新概念。第一个是M(i)，曾有i孩的比例，即拥有至少i个孩子的妇女比例。第二个是a(i)，孩次递进比，它测量的是有i孩的妇女递进到有i + 1孩子的妇女的比例。预测的曾有i孩的比例M*(i)表示预期至少有i个孩的妇女比例；预测的孩次递进比a*(i)表示到生育年龄结束时预期有i个孩子的妇女递进到有i+1个孩子的妇女比例。
得到的估计值
可以对任何年龄组的妇女计算以下估计值：
观察到的曾有i孩的比例，5Mx(i),，是指x到x+5岁的妇女至少有i次活产的比例。相应的预测比例，\(\displaystyle {}_{5}M_x^{*}(i)\)，是指目前x到x+5岁的妇女在生育期结束时预期的至少有i次活产的比例。对于x≥50岁，即生育期结束后的女性而言，观察比例和预期比例是相等的。
观察到的x到x+ 5岁的妇女第i孩次的孩次递进比为\(\displaystyle {}_{5}a_x(i)\)，即表示至少有i个孩子的妇女递进到至少有i+1孩次的妇女比例。而预测的孩次递进比为\(\displaystyle {}_{5}a_x^{*}(i)\)。同样地，对于x≥50岁，观察比例和预期比例是相等的。
下面的变量与上述指标相关，并与妇女的子女数分布挂钩。
定义N(i)为人口中子女数为i的妇女数，且用N表示人口中的妇女总数。定义W(i)为人口中生育过i个或更多子女的妇女数， π是人口中的最高孩次。曾有第i或更多孩次的妇女人数可由对N(i)向上求和得到：
\[W(i)=\sum_{j=i}^{\pi}N(j)=N(i)+N(i+1)+\cdots+N(\pi)\]
其对应的比例M(i)为
\[M(i)=\frac{1}{N}\cdot\sum_{j=i}^{\pi}N(j)\]
孩次数为0及以上的妇女数为
\[W(0)=\sum_{j=0}^{\pi}N(j)=N\]
所以，孩次数为0及以上的比例为M(0) = N/N = 1
总人口中的平均孩次，P，为\(\displaystyle P=\frac{1}{N}\cdot\sum_{j=1}^{\pi}j\cdot N(j)=\frac{N(1)}{N}+\frac{2\cdot N(2)}{N}+\frac{3\cdot N(3)}{N}+\cdots+\frac{\pi\cdot N(\pi)}{N}=\frac{1}{N}\cdot\sum_{j=1}^{\pi}W(j)=\sum_{j=1}^{\pi}M(j)\)。
对于那些生育期结束的妇女，平均子女数与生育期结束后的家庭规模CFS是一样的，相当于在一个真实的队列中的总和生育率：\(\displaystyle CFS(x\;\mathrm{to}\;x+5)=\sum_{j=1}^{\pi}{}_{5}M_x(j)\)，x ≥ 50。
孩次递进比可以用数字或比例表示为：
\[a(i)=\frac{W(i+1)}{W(i)}=\frac{W(i+1)/N}{W(i)/N}=\frac{M(i+1)}{M(i)}\]
相反地，有i + 1个或更多子女的妇女比例，可以根据i孩或更低孩次的递进比表示为：
\[M(i+1)=a(i)\cdot M(i)=a(i)\cdot a(i-1)\cdot M(i-2)=a(i)\cdot a(i-1)\cdot a(i-2)\cdots a(0)=\prod_{j=1}^{i}a(j)\]
其中符号Π表示连乘积。
数据要求和假定
需要的数据表格
a) 观察到的孩次递进比
45-49岁或以上的妇女分年龄组的子女数
b) 预测的孩次递进比
45-49岁或以下的妇女分年龄组的子女数
按母亲年龄(五岁年龄组)分的普查前一年出生的孩子数和曾生子女数。鉴于下面所描述的假定，不需要考虑过去一年中的生育分布比例。建议使用普查日期前12个月中每个月的出生数。
重要假定
妇女在过去一年最多有一次生育。
求得的年龄孩次别生育率同样适用于未来。这个假定可能不真实。因为它表示在当前的年龄孩次别生育率下，妇女未来可能的生育率水平。这种孩次递进比不应该被应用于那些可能有相当多新增子女的队列，或者生育率正在迅速变化的人口。
准备工作和初步检验
使用这种方法开始分析生育率水平之前，分析人员应该至少就以下几个方面对数据质量进行检验：
过去一年申报的出生数
注意事项和提示
在适当和必要的情况下，子女数应该是经过巴德里校正法调整的估算值，以纠正那些把无子女的妇女误报为子女数缺失的妇女的情况。
如果样本权重或设计权重已经随数据提供，需要在推导作为输入的数据列表时，将它们以合适方式应用在统计软件中。
预测的孩次递进比只能从人口普查以及其他包含大量妇女的数据集(各年龄组至少有10,000人)中计算得出，这是因为可靠的年龄孩次别生育率的推导(推导预测的孩次递进比时需要这个指标)需要每一个年龄孩次别上的估计值都可靠。
方法的应用
预测孩次递进比的计算涉及多个步骤，但其背后的原理并不难掌握。如果某一队列在剩余的生育期内与基于上一年出生人数计算出的年龄孩次别生育率保持一致，该年龄孩次别生育率可用于预测该队列的期望生育率分布。这是通过计算孩次别总和生育率来得到的，即对所有年龄计算第i个孩次的累计生育率。这些累计生育率用来计算各年龄孩次i的妇女队列从目前年龄到生育期结束生育的额外孩子数。这是一种假想队列指标，因为它是对当前时期生育率的累计。期望生育n或者更多孩次的再育比例，与当前有i或更多孩次的妇女比例相加，便可得到最终的期望有i或更多孩次的比例。利用这些累积的预测孩次数分布可以计算预测的孩次递进比，这个指标可以用来检验生育率趋势。定义5Px为x到x +5岁妇女的平均孩次数，则x到x +5岁妇女的预测的完整的队列生育率用公式表示为：
\[{}_{5}PTFR_x={}_{5}P_x+\left(TFR-\sum_{i=15,5}^{x}{}_{5}ASFR_i\right)\]
步骤 1：根据数据, 将母亲数按年龄和曾生孩子数列表
按曾生子女数i, 列出各年龄组[x，x+5)妇女数\(\displaystyle {}_{5}N_x\),产生\(\displaystyle {}_{5}N_x(i)\)。如果需要的话，该数据应该用巴德里校正法加以清理, 以消除不准确的孩次数。
步骤 2：提取按母亲年龄和孩次数 \(\displaystyle {}_{5}B_x(i)\) 分的上一年的出生数
这里我们假定妇女在过去12个月中最多只生育一个孩子，并且在此期间没有多次分娩或多胞胎的情况。其隐含的假定是，当前孩次数为i的妇女上一年中生育的孩子的出生次序为i。
步骤 3：推导各年龄组中曾有孩次数i的母亲比例和孩次递进比
x和x+5岁之间且生育过i个或以上子女的妇女人数由下面公式给出，
\[{}_{5}W_x(i)=\sum_{j=i}^{\pi}{}_{5}N_x(j)\]
[x, x + 5) 岁之间且生育过i个或以上子女的妇女的比例计算如下，
\[{}_{5}M_x(i)=\frac{1}{{}_{5}N_x}\cdot\sum_{j=i}^{\pi}{}_{5}N_x(j)\]
生育过i个或以上子女的比例应该对所有的队列计算，不论生育期是否已经结束。没有生育过的妇女应该被包括在分母中，但不应包括(在使用巴德里校正法之后)那些子女数未知的妇女。
孩次数i和i+1之间的孩次递进比为：
\[{}_{5}a_x(i)=\frac{{}_{5}M_x(i+1)}{{}_{5}M_x(i)}\]
对生育期结束的妇女，孩次递进比的推导在这一步结束。下面的步骤描述了如何推导更年轻队列妇女的预测的孩次递进比。
步骤 4：推导年龄孩次别生育率
从按母亲年龄和孩次数分的上一年出生数的数据表中(步骤 2)，计算各年龄组15-19,…45-49，妇女的孩次别生育率，
\[{}_{5}AOSFR_x(i)=\frac{{}_{5}B_x(i)}{{}_{5}N_x}\]
再次说明，分母中应剔除未申报孩次数的妇女。需要注意的是，由于分母是年龄组5Nx的妇女总数，因此它不是分子体现的事件的历险人年数，所以年龄孩次别生育率并不是真正意义上的发生率。
步骤 5：推导累计的孩次别生育率
对i孩次累计其至年龄x+5的年龄孩次别生育率为\(\displaystyle {}_{5}TOFR_x(i)=5\cdot\sum_{j=15,5}^{x}{}_{5}AOSFR_j(i)\)，因此\(\displaystyle {}_{5}TOFR_{45}(i)-{}_{5}TOFR_x(i)\)是基于假定未来生育率与目前生育率保持相同的条件下，在年龄x +5和生育期结束之间期望生育i个子女数的妇女的再育比例。
步骤 6：计算孩次别生育率的年龄分布，并对常规年龄进行插值处理
上一步骤导出的累计率适用于19.5岁，24.5岁等(半年期的移位是因母亲的年龄是普查时点上的年龄而不是她生育时的年龄)。另一方面，曾有每个孩次的比例和各孩次递进比的比例，(大致)对应于每个年龄组的中间点，如17.5，22.5等。因此这些年龄孩次别生育率必须进行插值，使它们对应于各年龄组的中点年龄。通过将累计的年龄孩次别生育率表达为总和孩次别生育率的比例，对累计值的冈比特转换值进行线性插值。
对于每一个孩次，计算到该年龄组上限为止的孩次别累计生育率的比例。由于本示例使用了移位后的年龄组生育率，年龄组的上限都下移了半年。这些比例是通过将达到该年龄组上限的率求和计算得出的，将该累计的和表达为占(该孩次)总和生育率的比例，
\[{}_{5}\theta_x(i)=\frac{{}_{5}TOFR_x(i)}{{}_{5}TOFR_{45}(i)}\]
如前所述，这些比例对应于年龄19.5岁，24.5岁等。由于生育率的年龄分布是非线性的，直接用线性插值来获得22.5岁，27.5岁等年龄上的比例是不恰当的。然而，冈比特(双负对数)转换可以将S形函数变为一条直线。因此，先计算出这些比例的冈比特值，用插值法得到对应于常规年龄组中点的冈比特值，然后再通过反冈比特方法求得原始的生育率。如果用星号来表示移位到常规年龄组中点的比例，则
\[\begin{aligned}{}_{5}\theta_x^{*}(i)&=\exp\left(-\exp\left(-\left(0.4\left[-\ln\left(-\ln\left({}_{5}\theta_{x-5}(i)\right)\right)\right]+0.6\left[-\ln\left(-\ln\left({}_{5}\theta_x(i)\right)\right)\right]\right)\right)\right)\end{aligned}\tag{1}\]
该式适用于x=20，25，...，40
为了避免在预测的孩次递进比中引入过多的预测数据我们在以后所有计算中忽略那些在某一年龄组中点的孩次别生育率的比例小于0.3的估计值\(\displaystyle {}_{5}\theta_x^{*}(i)\)，而将\(\displaystyle {}_{5}\theta_x^{*}(i)\lt 0.5\)的值作为推测。
步骤 7：计算预期的未来孩次增量
从某年龄组的中点年龄至生育期结束的时间间隔内，妇女达到每个孩次的再育比例由下式给出，
\[{}_{5}TOFR_{45}(i)-{}_{5}TOFR_x(i)={}_{5}TOFR_{45}(i)\cdot\left(1-{}_{5}\theta_x^{*}(i)\right)\]
步骤 8：推导预测的累计孩次递进比和预测的孩次递进比
计算预测的累计孩次递进比，需要将上一步中推导出的未来的孩次增量累加到步骤 1中得出的当前的累计孩次递进比。因此，x到x+5岁的妇女预测达到至少有i个孩次的比例，由下式给出，
\[{}_{5}M_x^{*}(i)={}_{5}M_x(i)+{}_{5}TOFR_{45}(i)\cdot\left(1-{}_{5}\theta_x^{*}(i)\right)\]
i和i+1之间孩次数的预测孩次递进比由下式得到，
\[{}_{5}a_x^{*}(i)=\frac{{}_{5}M_x^{*}(i+1)}{{}_{5}M_x^{*}(i)}\]
结果的解释
对孩次递进比变化的解释可能因数据误差而变得复杂，因此应考虑到计算背后所依据的假定。数据或多或少存在误差，所以注意不要过度解释结果。基于大量预测数据而得到的孩次递进比在解释时必须特别小心，因为它们可能反映了时期的影响，而这些影响在未来可能不再适用。例如，如果年龄孩次别生育率反映了在数据被搜集时的生育时间的延迟，以及随后出现的生育率补偿性上升使得某年龄组妇女的孩次数追上了较早队列妇女的孩次数，那么预测的孩次递进比将有误导性。同样地，即使目前的生育率没有预测到下降的趋势，未来生育率的下滑也将减少妇女最终的孩次数。因为计算年长妇女队列的最终孩次数所用的预测数据较少，所以她们的预测的孩次递进比更为可靠。
预测的第一孩递进比，即\(\displaystyle {}_{5}M_x^{*}(1)\)，往往因为参照期的错误而存在偏差；而这些参照期的错误不像在别的孩次递进比中那样会被抵消。至少有一个孩次的预测比例将会受到成为母亲的时间的变化的影响。由于这个指标是从目前的生育率推导出的假想队列指标，第一孩出生时间的改变也会影响累计生育率；对于发展中国家的大多数实际队列来说，也可能使其落在预期的范围之外。短期波动和进度效应可能意味着(某一时期的)第一孩递进比可能偶尔会超过1。这不应该被混淆为或者被解释为孩次递进比大于1，因为这在理论上是绝对不可能的。
预测的第一孩递进比也可能反映出数据的质量。这些生育率表明，一个假想队列妇女在经历这些生育率后，在整个生育期有望成为母亲的比例。参照期的误差可能导致这一比例出现异常值。严重的参照期误差会导致这一比例大于1。如果累计第一孩生育率小于0.9，这将强烈表示数据中存在错误，或者第一孩生育时间出现了重大变化，尽管较低的累计生育率也可能出现在历史上有高水平原发性不孕症的人口中和在当代由于高水平的主动不生育而导致低生育率的人口中。(预测的)有望成为母亲的妇女比例,\(\displaystyle {}_{5}PPR_x^{(*)}(0,1)\)，的上升，经常在原发性不孕症下降的人口中被观察到。
因较高孩次上的生育数较小，年龄孩次别生育率会存在抽样误差，因此较高孩次的孩次递进比可能会有很大程度的波动。当因妇女人数较少而在数据中出现较大的抽样误差时，可以将两个或两个以上相邻的预测孩次递进比进行“合并”或平均来更清楚地观察趋势。
检验跨队列(预测的40-44岁以及更年轻队列与实际的45-49岁及更年长队列)的孩次递进比的趋势可以进一步揭示生育率变化趋势。(预测的)孩次递进比的下降表明生育更高孩次的妇女比例的下降；在其他所有因素不变的情况下，这说明生育率在下降。在不同孩次的递进比的变化可能受多种因素的影响，有些孩次递进比受到的影响可能比其他孩次递进比大。特定孩次递进比的变化可能有助于理解生育率的变化。例如，通过孩次别避孕率来限制家庭规模的普及，将导致中间孩次(比如，3到6)递进比的下降。而高孩次递进比的变化往往反映与孩次别无关的生育率变化，比如哺乳期长短的变化。
示例
这个例子分析了1998年柬埔寨人口普查的数据。该普查于1998年3月3日进行。相关方法可以在随附的电子表格中得到执行。
步骤 1：根据数据, 将母亲数按年龄组和曾生孩子数列表
表8.1 显示了未经校正的人口普查数据。
该数据显示了一种平均孩次数随年龄不断增长至45-49岁年龄组的典型模式。而50岁后，平均孩次数只有少量的增加。因此，该数据表明，或者是50岁以上的妇女忽略了她们的一些曾生子女数，或者是说在过去的10-15年中，生育率在生育期结束的妇女中基本保持不变。
表 8.1 年龄孩次别妇女数, 柬埔寨1998年人口普查
| 孩次数 (i) | 年龄组 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 15-19 | 20-24 | 25-29 | 30-34 | 35-39 | 40-44 | 45-49 | 50-54 | 55-59 | 60-64 | |
| 0 | 635,940 | 200,620 | 105,350 | 55,300 | 33,900 | 22,970 | 16,430 | 9,790 | 7,640 | 6,880 |
| 1 | 30,340 | 94,810 | 79,570 | 38,780 | 21,150 | 16,570 | 13,460 | 9,600 | 8,020 | 7,450 |
| 2 | 5,980 | 62,580 | 113,640 | 66,750 | 33,320 | 21,920 | 17,220 | 12,840 | 9,690 | 8,020 |
| 3 | 1,650 | 21,680 | 88,750 | 75,660 | 45,680 | 27,750 | 20,250 | 15,170 | 11,180 | 8,120 |
| 4 | 1,200 | 6,890 | 44,480 | 72,370 | 56,100 | 35,450 | 24,530 | 18,090 | 13,350 | 10,160 |
| 5 | 630 | 2,060 | 16,580 | 51,600 | 57,050 | 39,100 | 26,660 | 19,660 | 16,100 | 12,040 |
| 6 | 0 | 1,120 | 5,630 | 30,250 | 50,960 | 39,180 | 27,540 | 19,860 | 16,180 | 12,250 |
| 7 | 0 | 510 | 2,110 | 13,390 | 35,780 | 33,190 | 25,850 | 18,880 | 16,170 | 13,690 |
| 8 | 0 | 480 | 1,070 | 5,970 | 20,580 | 24,920 | 23,180 | 16,940 | 14,830 | 11,970 |
| 9 | 0 | 0 | 440 | 1,820 | 9,590 | 15,860 | 16,130 | 12,680 | 11,360 | 9,200 |
| 10 | 0 | 0 | 240 | 880 | 4,840 | 10,420 | 12,790 | 10,720 | 9,800 | 7,750 |
| 11 | 0 | 0 | 120 | 320 | 1,760 | 4,430 | 6,670 | 5,370 | 4,850 | 3,970 |
| 12 | 0 | 0 | 80 | 150 | 760 | 3,220 | 5,350 | 4,810 | 4,780 | 4,230 |
| 13 | 0 | 0 | 40 | 60 | 250 | 990 | 1,960 | 1,790 | 1,790 | 1,440 |
| 14 | 0 | 0 | 0 | 40 | 170 | 620 | 1,020 | 970 | 760 | 540 |
| 15 | 0 | 0 | 0 | 10 | 10 | 250 | 510 | 460 | 440 | 490 |
| 16 | 0 | 0 | 0 | 10 | 30 | 130 | 230 | 160 | 140 | 210 |
| 17 | 0 | 0 | 0 | 0 | 10 | 40 | 80 | 50 | 70 | 70 |
| 18 | 0 | 0 | 0 | 10 | 10 | 30 | 30 | 30 | 40 | 40 |
| 总数 | 675,740 | 390,750 | 458,100 | 413,370 | 371,950 | 297,040 | 239,890 | 177,870 | 147,190 | 118,520 |
| 平均孩次数 | 0.082 | 0.862 | 1.965 | 3.150 | 4.369 | 5.086 | 5.566 | 5.758 | 5.974 | 5.969 |
步骤 2：提取按母亲年龄和孩次数分的上一年的出生数
表8.2列出了柬埔寨1998年人口普查中申报的按母亲年龄组和孩次数分的普查前一年的生育数。
表8.2按母亲年龄组和孩次数分的普查前一年的的生育数，柬埔寨1998年人口普查
| 孩次数 (i) | 年龄组 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 15-19 | 20-24 | 25-29 | 30-34 | 35-39 | 40-44 | 45-49 | |
| 0 | |||||||
| 1 | 13,100 | 23,490 | 11,500 | 3,170 | 1,040 | 320 | 190 |
| 2 | 2,340 | 19,180 | 21,320 | 7,830 | 2,010 | 730 | 150 |
| 3 | 410 | 8,370 | 22,640 | 11,470 | 3,790 | 850 | 230 |
| 4 | 210 | 2,430 | 14,330 | 14,110 | 5,200 | 1,450 | 300 |
| 5 | 100 | 600 | 6,220 | 12,440 | 6,740 | 1,830 | 480 |
| 6 | 0 | 280 | 2,020 | 8,360 | 8,120 | 2,870 | 560 |
| 7 | 0 | 90 | 750 | 4,430 | 7,220 | 3,240 | 840 |
| 8 | 0 | 90 | 360 | 2,100 | 4,930 | 3,020 | 750 |
| 9 | 0 | 0 | 90 | 640 | 2,800 | 2,310 | 690 |
| 10 | 0 | 0 | 40 | 300 | 1,390 | 1,570 | 640 |
| 11 | 0 | 0 | 30 | 160 | 630 | 810 | 490 |
| 12 | 0 | 0 | 10 | 40 | 200 | 480 | 320 |
| 13 | 0 | 0 | 10 | 20 | 80 | 250 | 140 |
| 14 | 0 | 0 | 10 | 60 | 100 | 70 | |
| 15 | 0 | 0 | 0 | 50 | 30 | ||
| 16 | 0 | 10 | 10 | 30 | |||
| 17 | 0 | 0 | 10 | ||||
| 18 | 0 | 0 | 0 | 10 | |||
| 年龄别生育率ASFRs | 0.024 | 0.140 | 0.173 | 0.157 | 0.119 | 0.067 | 0.025 |
数据表明总和生育率大约为每名妇女生育了3.25个孩子，远远低于45至49岁妇女队列的生育率(5.566)。反过来，这意味着要么这个国家正在发生着剧烈的生育率下降，要么是普查中的近期生育数存在系统性漏报。
步骤 3：推导各年龄组曾有孩次数的母亲比例和孩次递进比
表8.3列出了从表8.1中计算得到的曾有i个或更多的孩次数的妇女比例。孩次数为12及以上的妇女被合并了。
表 8.3 分年龄的各个孩次数的母亲比例, 柬埔寨1998年人口普查
| 孩次数(i) | 年龄组 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 15-19 | 20-24 | 25-29 | 30-34 | 35-39 | 40-44 | 45-49 | 50-54 | 55-59 | 60-64 | |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0.0589 | 0.4866 | 0.7700 | 0.8662 | 0.9089 | 0.9227 | 0.9315 | 0.9450 | 0.9481 | 0.9420 |
| 2 | 0.0140 | 0.2439 | 0.5963 | 0.7724 | 0.8520 | 0.8669 | 0.8754 | 0.8910 | 0.8936 | 0.8791 |
| 3 | 0.0051 | 0.0838 | 0.3483 | 0.6109 | 0.7624 | 0.7931 | 0.8036 | 0.8188 | 0.8278 | 0.8114 |
| 4 | 0.0027 | 0.0283 | 0.1545 | 0.4279 | 0.6396 | 0.6997 | 0.7192 | 0.7335 | 0.7518 | 0.7429 |
| 5 | 0.0009 | 0.0107 | 0.0574 | 0.2528 | 0.4888 | 0.5803 | 0.6169 | 0.6318 | 0.6611 | 0.6572 |
| 6 | 0.0000 | 0.0054 | 0.0212 | 0.1280 | 0.3354 | 0.4487 | 0.5058 | 0.5213 | 0.5517 | 0.5556 |
| 7 | 0.0000 | 0.0025 | 0.0090 | 0.0548 | 0.1984 | 0.3168 | 0.3910 | 0.4096 | 0.4418 | 0.4522 |
| 8 | 0.0000 | 0.0012 | 0.0043 | 0.0224 | 0.1022 | 0.2051 | 0.2833 | 0.3035 | 0.3320 | 0.3367 |
| 9 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0020 | 0.0080 | 0.0469 | 0.1212 | 0.1866 | 0.2082 | 0.2312 | 0.2357 |
| 10 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0010 | 0.0036 | 0.0211 | 0.0678 | 0.1194 | 0.1370 | 0.1540 | 0.1581 |
| 11 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0005 | 0.0015 | 0.0081 | 0.0327 | 0.0661 | 0.0767 | 0.0874 | 0.0927 |
| 12+ | 0.0000 | 0.0000 | 0.0003 | 0.0007 | 0.0033 | 0.0178 | 0.0383 | 0.0465 | 0.0545 | 0.0592 |
从表8.3可看出，45-49岁妇女中80.4%的人至少有三个孩子，而71.9％的人有四个或更多的孩子。相关的孩次递进比\(\displaystyle {}_{5}a_x(i)\)示于表8.4。
表 8.4 按母亲年龄组和孩次数分的孩次递进比观测值, 柬埔寨1998年人口普查
| 孩次数 (i) | 年龄组 | |||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 15-19 | 20-24 | 25-29 | 30-34 | 35-39 | 40-44 | 45-49 | 50-54 | 55-59 | 60-64 | |
| 0 | 0.0589 | 0.4866 | 0.7700 | 0.8662 | 0.9089 | 0.9227 | 0.9315 | 0.9450 | 0.9481 | 0.9420 |
| 1 | 0.2377 | 0.5013 | 0.7744 | 0.8917 | 0.9374 | 0.9395 | 0.9398 | 0.9429 | 0.9425 | 0.9333 |
| 2 | 0.3679 | 0.3435 | 0.5840 | 0.7909 | 0.8949 | 0.9149 | 0.9180 | 0.9190 | 0.9263 | 0.9230 |
| 3 | 0.5259 | 0.3378 | 0.4437 | 0.7004 | 0.8389 | 0.8822 | 0.8950 | 0.8958 | 0.9082 | 0.9156 |
| 4 | 0.3443 | 0.3770 | 0.3717 | 0.5909 | 0.7642 | 0.8294 | 0.8578 | 0.8613 | 0.8794 | 0.8846 |
| 5 | 0.0000 | 0.5060 | 0.3698 | 0.5063 | 0.6862 | 0.7732 | 0.8199 | 0.8251 | 0.8345 | 0.8454 |
| 6 | 0.4692 | 0.4214 | 0.4283 | 0.5915 | 0.7060 | 0.7730 | 0.7858 | 0.8008 | 0.8140 | |
| 7 | 0.4848 | 0.4854 | 0.4091 | 0.5151 | 0.6473 | 0.7244 | 0.7409 | 0.7513 | 0.7446 | |
| 8 | 0.0000 | 0.4623 | 0.3560 | 0.4586 | 0.5909 | 0.6589 | 0.6862 | 0.6965 | 0.7001 | |
| 9 | 0.5217 | 0.4485 | 0.4498 | 0.5593 | 0.6397 | 0.6577 | 0.6662 | 0.6707 | ||
| 10 | 0.5000 | 0.4054 | 0.3827 | 0.4824 | 0.5534 | 0.5599 | 0.5677 | 0.5864 | ||
| 11 | 0.5000 | 0.4667 | 0.4133 | 0.5438 | 0.5792 | 0.6063 | 0.6232 | 0.6388 | ||
这些递进比表明，1998年柬埔寨人口普查中45-49岁的妇女中93.2%至少生育了一个子女，而这个年龄组的生育过三个子女的妇女中89.5％的人生育了第四个孩子。
步骤 4：推导年龄孩次别生育率
表8.2中申报的过去一年(分年龄组和孩次数)的生育数除以(表8.1中)相应各年龄组(总和、分孩次)的妇女数便得到年龄孩次别生育率，见表8.5。例如，25-29岁第一孩的生育率为，5AOSFR25(1)=11500/458100=0.0251。
表8.5 年龄孩次别生育率和总和孩次别生育率 (TOFR), 柬埔寨1998年人口普查
| 孩次数 (i) | 年龄组 | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 15-19 | 20-24 | 25-29 | 30-34 | 35-39 | 40-44 | 45-49 | TOFR(i) | |
| 0 | ||||||||
| 1 | 0.0194 | 0.0601 | 0.0251 | 0.0077 | 0.0028 | 0.0011 | 0.0008 | 0.5847 |
| 2 | 0.0035 | 0.0491 | 0.0465 | 0.0189 | 0.0054 | 0.0025 | 0.0006 | 0.6326 |
| 3 | 0.0006 | 0.0214 | 0.0494 | 0.0277 | 0.0102 | 0.0029 | 0.0010 | 0.5660 |
| 4 | 0.0003 | 0.0062 | 0.0313 | 0.0341 | 0.0140 | 0.0049 | 0.0013 | 0.4603 |
| 5 | 0.0001 | 0.0015 | 0.0136 | 0.0301 | 0.0181 | 0.0062 | 0.0020 | 0.3582 |
| 6 | 0.0000 | 0.0007 | 0.0044 | 0.0202 | 0.0218 | 0.0097 | 0.0023 | 0.2959 |
| 7 | 0.0000 | 0.0002 | 0.0016 | 0.0107 | 0.0194 | 0.0109 | 0.0035 | 0.2320 |
| 8 | 0.0000 | 0.0002 | 0.0008 | 0.0051 | 0.0133 | 0.0102 | 0.0031 | 0.1632 |
| 9 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0002 | 0.0015 | 0.0075 | 0.0078 | 0.0029 | 0.0996 |
| 10 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0001 | 0.0007 | 0.0037 | 0.0053 | 0.0027 | 0.0625 |
| 11 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0001 | 0.0004 | 0.0017 | 0.0027 | 0.0020 | 0.0346 |
| 12+ | 0.0000 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0002 | 0.0009 | 0.0030 | 0.0025 | 0.0335 |
| 年龄别生育率 | 0.0239 | 0.1396 | 0.1731 | 0.1574 | 0.1189 | 0.0670 | 0.0247 | 3.5231 |
| 注：TOFR为总和孩次别生育率 | ||||||||
步骤 5：推导累计孩次别生育率
根据表8.5的数据，累计的年龄孩次别生育率可以通过将每一行求和至目标年龄组而得出。例如，对于孩次数为3，至25-29岁年龄组的累计年龄孩次别生育率是5×(0.0006+0.0214+0.0494)=0.3572。
步骤 6：计算孩次别生育率的年龄分布，并对常规年龄进行插值处理
基于步骤 5的结果，各年龄组终端年龄上的孩次别生育率的比例，将由累计的孩次别生育率除以表8.5最后一列的总和孩次别生育率计算得出。结果示于表8.6。
表 8.6 各年龄组终端年龄的孩次别生育率比例, 柬埔寨1998年人口普查
| 子女数(i) | 年龄组终端年龄 | ||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 19.5 | 24.5 | 29.5 | 34.5 | 39.5 | 44.5 | 49.5 | |
| 0 | |||||||
| 1 | 0.1658 | 0.6799 | 0.8945 | 0.9601 | 0.9840 | 0.9932 | 1.0000 |
| 2 | 0.0274 | 0.4153 | 0.7832 | 0.9329 | 0.9756 | 0.9951 | 1.0000 |
| 3 | 0.0054 | 0.1946 | 0.6311 | 0.8762 | 0.9663 | 0.9915 | 1.0000 |
| 4 | 0.0034 | 0.0709 | 0.4107 | 0.7815 | 0.9334 | 0.9864 | 1.0000 |
| 5 | 0.0021 | 0.0235 | 0.2130 | 0.6331 | 0.8861 | 0.9721 | 1.0000 |
| 6 | 0.0000 | 0.0121 | 0.0866 | 0.4284 | 0.7973 | 0.9606 | 1.0000 |
| 7 | 0.0000 | 0.0050 | 0.0402 | 0.2712 | 0.6895 | 0.9245 | 1.0000 |
| 8 | 0.0000 | 0.0071 | 0.0311 | 0.1868 | 0.5928 | 0.9042 | 1.0000 |
| 9 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0099 | 0.0876 | 0.4654 | 0.8556 | 1.0000 |
| 10 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0070 | 0.0650 | 0.3639 | 0.7866 | 1.0000 |
| 11 | 0.0000 | 0.0000 | 0.0095 | 0.0654 | 0.3103 | 0.7046 | 1.0000 |
| 12+ | 0.0000 | 0.0000 | 0.0065 | 0.0318 | 0.1724 | 0.6201 | 1.0000 |
49.5岁孩次别生育率的比例假定为1。使用上一步的相同例子，29.5岁第三孩生育率的比例为0.3572/0.5660=0.6311。
因为母亲年龄是按照她们在普查时的年龄划分的，而步骤 1中推导的平均孩次数仅适用于年龄17.5，22.5等，为了使两组数据可比，我们在成对数值之间插补以得到在22.5岁，27.5岁等年龄上的估算比例。这一计算根据式(1)完成，结果示于表8.7。
由于预测未来的孩次递进存在固有的不确定性，表8.7中小于0.3的单元格(即孩次别生育率在该年龄的比例小于30％)用红色作了标记，并且将在下一步计算中将被剔除。大于0.3但小于0.5的单元格被标为蓝色，在下一步计算中会被谨慎对待。在随后表格中，根据这些值计算的结果将被放在括号中。
表8.7 在每个年龄组中点年龄孩次别生育率的比例, 柬埔寨1998年人口普查
| 孩次数 (i) | 年龄组中点年龄 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| 22.5 | 27.5 | 32.5 | 37.5 | 42.5 | 47.5 | |
| 1 | 0.4897 | 0.8326 | 0.9409 | 0.9769 | 0.9904 | 0.9999 |
| 2 | 0.2135 | 0.6652 | 0.8915 | 0.9634 | 0.9906 | 0.9999 |
| 3 | 0.0739 | 0.4655 | 0.8044 | 0.9428 | 0.9852 | 0.9999 |
| 4 | 0.0275 | 0.2526 | 0.6624 | 0.8916 | 0.9742 | 0.9998 |
| 5 | 0.0102 | 0.1104 | 0.4751 | 0.8139 | 0.9506 | 0.9998 |
| 6 | 0.0452 | 0.2738 | 0.6811 | 0.9228 | 0.9997 | |
| 7 | 0.0197 | 0.1539 | 0.5410 | 0.8640 | 0.9996 | |
| 8 | 0.0183 | 0.1061 | 0.4345 | 0.8232 | 0.9996 | |
| 9 | 0.0430 | 0.2965 | 0.7449 | 0.9995 | ||
| 10 | 0.0311 | 0.2221 | 0.6527 | 0.9994 | ||
| 11 | 0.0341 | 0.1937 | 0.5671 | 0.9993 | ||
| 12+ | 0.0181 | 0.1001 | 0.4473 | 0.9993 | ||
步骤 7：计算预期的未来孩次增量
从所在年龄组中点年龄到生育期结束的区间内，妇女达到每个孩次的再育比例由下式给出， ，结果示于表8.8。
在30岁以后孩次数为3的妇女未来预期的再生育的比例为0.5660 x (1 - 0.4655) = 0.3025。括号内显示的值是不太可靠的，这是因为这些结果是基于年龄组中点年龄上的孩次别生育率比例低于0.5的值而得来的。
步骤 8：推导预测的每个孩次的比例和预测的孩次递进比
预测的累计孩次递进比可通过将表8.8中未来孩次增量累加到步骤 3的表8.3中曾有不同孩次数的妇女比例而计算得出。
仍在生育期的妇女队列的预测孩次递进比现在可以与50岁及以上妇女的完整的孩次递进比直接相比较。其结果示于表8.9。
表8.8 按母亲年龄至生育期结束达到孩次数(i)的再育比例, 柬埔寨1998年人口普查
| 年龄组中点年龄 | |||||
|---|---|---|---|---|---|
| 孩次数 (i) | 22.5 | 27.5 | 32.5 | 37.5 | 42.5 |
| 0 | |||||
| 1 | (0.2984) | 0.0979 | 0.0346 | 0.0135 | 0.0056 |
| 2 | 0.2118 | 0.0686 | 0.0232 | 0.0059 | |
| 3 | (0.3025) | 0.1107 | 0.0324 | 0.0084 | |
| 4 | 0.1554 | 0.0499 | 0.0119 | ||
| 5 | (0.1880) | 0.0666 | 0.0177 | ||
| 6 | 0.0944 | 0.0228 | |||
| 7 | 0.1065 | 0.0316 | |||
| 8 | (0.0923) | 0.0289 | |||
| 9 | 0.0254 | ||||
| 10 | 0.0217 | ||||
| 11 | 0.0150 | ||||
| 12+ | (0.0185) | ||||
表8.9 期望达到各个孩次数的预测比例, 柬埔寨1998年人口普查
| 子女数 (i) | 年龄组 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 20-24 | 25-29 | 30-34 | 35-39 | 40-44 | 45-49 | 50-54 | 55-59 | 60-64 | |
| 0 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 | 1.0000 |
| 1 | (0.7850) | 0.8679 | 0.9008 | 0.9224 | 0.9283 | 0.9315 | 0.9450 | 0.9481 | 0.9420 |
| 2 | 0.8081 | 0.8410 | 0.8752 | 0.8728 | 0.8754 | 0.8910 | 0.8936 | 0.8791 | |
| 3 | (0.6508) | 0.7216 | 0.7948 | 0.8014 | 0.8036 | 0.8188 | 0.8278 | 0.8114 | |
| 4 | 0.5833 | 0.6895 | 0.7115 | 0.7192 | 0.7335 | 0.7518 | 0.7429 | ||
| 5 | (0.4408) | 0.5554 | 0.5980 | 0.6169 | 0.6318 | 0.6611 | 0.6572 | ||
| 6 | 0.4298 | 0.4715 | 0.5058 | 0.5213 | 0.5517 | 0.5556 | |||
| 7 | 0.3049 | 0.3483 | 0.3910 | 0.4096 | 0.4418 | 0.4522 | |||
| 8 | (0.1945) | 0.2339 | 0.2833 | 0.3035 | 0.3320 | 0.3367 | |||
| 9 | 0.1466 | 0.1866 | 0.2082 | 0.2312 | 0.2357 | ||||
| 10 | 0.0895 | 0.1194 | 0.1370 | 0.1540 | 0.1581 | ||||
| 11 | 0.0477 | 0.0661 | 0.0767 | 0.0874 | 0.0927 | ||||
| 12+ | (0.0363) | 0.0383 | 0.0465 | 0.0545 | 0.0592 | ||||
在25-29岁年龄组，孩次数为3及以上的预测比例为0.3483(见表8.3)+ 0.3025(见表8.8)=0.6508。括号内显示的值是不太可靠的，这是因为这些结果是基于年龄组中点年龄上的孩次别生育率比例低于0.5的值而得来的。将任何年龄组中预期达到的相邻孩次数的比例进行相除，便可得到预测的孩次递进比(见表8.10)。
表 8.10预测的孩次递进比, 柬埔寨1998年人口普查
| 孩次数 (i) | 年龄组 | ||||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 20-24 | 25-29 | 30-34 | 35-39 | 40-44 | 45-49 | 50-54 | 55-59 | 60-64 | |
| 0 | (0.7850) | 0.8679 | 0.9008 | 0.9224 | 0.9283 | 0.9315 | 0.9450 | 0.9481 | 0.9420 |
| 1 | 0.9312 | 0.9337 | 0.9488 | 0.9403 | 0.9398 | 0.9429 | 0.9425 | 0.9333 | |
| 2 | (0.8053) | 0.8580 | 0.9081 | 0.9182 | 0.9180 | 0.9190 | 0.9263 | 0.9230 | |
| 3 | 0.8083 | 0.8676 | 0.8878 | 0.8950 | 0.8958 | 0.9082 | 0.9156 | ||
| 4 | (0.7558) | 0.8055 | 0.8404 | 0.8578 | 0.8613 | 0.8794 | 0.8846 | ||
| 5 | 0.7738 | 0.7885 | 0.8199 | 0.8251 | 0.8345 | 0.8454 | |||
| 6 | 0.7094 | 0.7388 | 0.7730 | 0.7858 | 0.8008 | 0.8140 | |||
| 7 | (0.6379) | 0.6715 | 0.7244 | 0.7409 | 0.7513 | 0.7446 | |||
| 8 | 0.6266 | 0.6589 | 0.6862 | 0.6965 | 0.7001 | ||||
| 9 | 0.6104 | 0.6397 | 0.6577 | 0.6662 | 0.6707 | ||||
| 10 | 0.5326 | 0.5534 | 0.5599 | 0.5677 | 0.5864 | ||||
| 11 | (0.7611) | 0.5792 | 0.6063 | 0.6232 | 0.6388 | ||||
预测的孩次递进比
孩次从0到1的递进比表示生育过一个孩子的妇女比例。值得注意的是，预测的该孩次递进比受到数据偏差的影响很大。下面将详细讨论这一点。没有子女的妇女的比例在各个队列中大致相当。然而，如图8.1所示，对于第二孩或更高孩次，孩次递进比在每个连续的年轻队列中明显存在轻微下降的趋势。
图8.2显示了柬埔寨1998年人口普查中预测的每个孩次的比例。
较低的孩次递进比对年轻队列达到每个孩次比例上的影响是显而易见的。虽然55％的60-64岁的妇女已经有6个或更多的孩子，而在生育期刚刚结束的队列中(即45-49岁)，这一比例已下降到刚刚超过一半(50.6%)。
这些数据表明生育率下降大约开始于当前年龄为50-54岁的队列开始生育的时候，即大约普查前的25-30年。
成为母亲
在柬埔寨数据中，45-49岁妇女曾经生育过孩子的比例为0.9315。按母亲目前年龄分的预测的比例示于表8.10的第1行。
很明显，年轻队列中成为母亲的时间有了显著的变化，尽管基于以上对结果推导的讨论，对于20多岁的妇女来说(很可能也对于30-34岁的妇女来说)，这些比例都是不可信的。二十几岁妇女的预测的孩次递进比受到生育时间变化以及预测数据多少的强烈影响。这些结果应该被忽略，或者另外采用生命表的方法来估算其成为母亲的时间。这类方法及其计算没有包括在本手册的内容中。
除了这个问题，其他预测的孩次递进比的计算应该消除了参照期偏差的影响，因为这些率不受孩次数的影响。这一点可以在对其他孩次数的预测孩次递进比的估算中看出来。
20-24岁到40-44岁队列数据中包含了预测值，队列越年轻，预测值的数量越多。年长队列的数据是基于自身完整的生育率得到的。30-44岁妇女的预测的孩次递进比表明，每个连续的年轻队列中在生育期结束时再育的妇女的比例呈现系统性下降。这表明生育率正在下降。
更多的阅读材料
布拉斯和胡亚雷斯(1983)描述了一个与以上类似的方法。他们的方法使用生育史数据中搜集的详细数据，并谨慎地处理了截尾效应和选择效应。
关于时期(而非队列)孩次递进比的使用以及问题，有很多相关文献。这些内容超出了本手册的范围。感兴趣的读者可以参考以下文献，威尔普顿(1946), 菲尼和余(1987), 尼∙布罗凯恩(1987), 辛德(1998), 邦戈茨和菲尼(1998)。
参考文献
Bongaarts J and G Feeney. 1998. "On the quantum and tempo of fertility", Population and Development Review 24(2):271-291. doi: http://dx.doi.org/10.2307/2807974
Brass W. 1985. Advances in Methods for Estimating Fertility and Mortality from Limited and Defective Data. London: Centre for Population Studies, London School of Hygiene and Tropical Medicine.
Brass W and F Juárez. 1983. "Censored cohort parity progression ratios from birth histories", Asian and Pacific Census Forum 10(1):5-12
Feeney G and J Yu. 1987. "Period parity progression measures of fertility in China", Population Studies 41(1):77-102. doi: http://dx.doi.org/10.1080/0032472031000142546
Hinde A. 1998. Demographic Methods .London: Arnold
Ní Bhrolcháin M. 1987. "Period parity progression ratios and birth intervals in England and Wales, 1941-1971: A synthetic life table analysis", Population Studies 41(1):103-125. doi: http://dx.doi.org/10.1080/0032472031000142556
Preston SH, P Heuveline and M Guillot. 2001. Demography: Measuring and Modelling Population Processes. Oxford: Blackwell.
Whelpton PK. 1946. "Reproduction rates adjusted for age, parity, fecundity, and marriage", Journal of the American Statistical Association 41(236):501-516. doi: http://dx.doi.org/10.1080/01621459.1946.10501893
Suggested citation
Moultrie TA and B Zaba. 2013. Parity progression ratios. In Moultrie TA, Dorrington RE, Hill AG, Hill K, Timæus IM and Zaba B (eds). Tools for Demographic Estimation. Paris: International Union for the Scientific Study of Population. https://demographicestimation.iussp.org/content/parity-progression-ratios.